Ламинарное движение

РЕЖИМЫ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Основные понятия

Еще в середине девятнадцатого века, изучая движение воды в цилиндрических трубах, исследователи заметили, что если скорость течения превышает некоторое предельное значение, характер течения внезапно изменяется. С достаточной ясностью и полнотой этот процесс был изучен экспериментально в опытах О. Рейнольдса в 1883 году. Он наблюдал движение подкрашиваемых струек жидкости в стеклянных трубках (рис. 4.1).

Рис.4.1

В зависимости от скорости течения, которая регулировалась краном на выходе из трубки, от температуры жидкости и диаметра трубки наблюдалось два режима течения жидкости:

· при небольших скоростях течение слоистое, упорядоченное, когда отдельные слои жидкости, не перемешиваясь, как бы скользят друг по другу;

· при увеличении скорости характер течения почти внезапно изменяется, слои перемешиваются, частицы жидкости, сохраняя общее направление течения, движутся по весьма сложным зигзагообразным траекториям.

При малых скоростях струйка краски протягивается вдоль всей трубочки, не перемешиваясь с окружающей жидкостью, – это ламинарный режим.

При увеличении скорости течения жидкости струйка краски начинает искривляться, а при дальнейшем увеличении скорости – теряет четкие очертания и размывается по всей трубе, равномерно окрашивая всю жидкость, – это турбулентный режим.

О. Рейнольдс пришел к заключению, что момент перехода одного режима в другой, или критерий, разграничивающий эти два режима, зависит от скорости движения жидкости, характерного размера потока (например, диаметра трубки) и физических свойств жидкости. Взяв в качестве характеристики физических свойств жидкости кинематический коэффициент вязкости ν и учитывая то обстоятельство, что критерий не должен зависеть от размерности входящих в него величин (то есть быть универсальным), О. Рейнольдс получил для этого критерия выражение

(4.1)

Здесь – средняя (характерная) скорость течения;

d – диаметр (характерный размер) трубы.

Критерий (4.1) играет очень большую роль при анализе течения реальных (вязких) жидкостей и называется числом Рейнольдса.

В своих опытах по исследованию режимов равномерного течения жидкости О. Рейнольдс пришел к заключению, что существует некоторое критическое значение числа (4.1), при котором происходит переход от ламинарного к турбулентному режиму течения. При значении числа Рейнольдса близком к 2000 ламинарность течения начинает нарушаться. При дальнейшем изучении вопроса оказалось, что существуют два критических значения числа Рейнольдса – нижнее ( ) и верхнее ( ).

Если для потока число Re меньше нижнего критического, то есть Re < , то течение всегда будет безусловно ламинарным.

Если для потока число Re больше верхнего критического, то есть Re > , то течение всегда турбулентное.

А если значение числа Re находится между этими значениями, то есть < Re < , то возможен тот или другой режим в зависимости от местных условий движения – условий входа потока в трубу, состояния стенок, наличия внешних возмущений и т. п.

В технических расчетах для трубопроводов в качестве критерия перехода от ламинарного режима течения к турбулентному принимают некоторое среднее значение критического числа Рейнольдса. Для круглых труб принимают , то есть при Re < 2300 режим считается ламинарным, а при Re > 2300 – турбулентным.

Заметим, что значение критического числа Рейнольдса не зависит от рода жидкости, что делает его универсальным критерием.

Как видно из выражения для числа Рейнольдса ламинарное течение осуществляется:

· при малых скоростях течения;

· в тонких трубках;

· при больших вязкостях жидкости (масла, мазуты).

Турбулентные течения широко распространены в природе и технике (пожалуй, больше, чем ламинарные). Турбулентным является движение воздуха в атмосфере, течение воды в реках, каналах и водопроводных трубах, движение воды в гидравлических машинах.

Ламинарное движение

Определим распределение скорости и расход жидкости при ламинарном движении ее в круглой цилиндрической трубе.

При течении жидкости в трубе различают начальный, или входной, участок и участок установившегося течения. Если вход в трубу из резервуара выполнен достаточно плавным, то в начальном сечении распределение скоростей практически равномерное, эпюра скорости представляет собой прямоугольник (рис. 4.2). По мере продвижения жидкости по начальному участку на стенках за счет сил трения возникает торможение. При дальнейшем движении жидкости по трубе тормозящее действие стенок распространяется на все большую толщу потока.

Рис. 4.2

На начальном участке поток имеет все уменьшающееся ядро, в котором сохраняется равномерное распределение скоростей, и пристеночный пограничный слой, где скорости распределены неравномерно. Вниз по течению размеры ядра убывают, толщина пограничного слоя растет до почти полного смыкания на оси трубы. Дальше начинается участок установившегося движения, который мы, собственно, и рассмотрим.

В соответствии с формулой Ньютона, сила гидравлического трения в жидкости равна

.

Для круглой цилиндрической трубы запишем ее в цилиндрической системе координат в виде

,

где r – текущий радиус цилиндрического слоя.

Отнеся силу к единице площади, получим напряжение

.

С другой стороны, в соответствии с основным уравнением равномерного движения жидкости (формула (3.12)), имеем для напряжения трения

Тогда

Вспоминая, что гидравлический радиус для круглой трубы , и разделяя переменные, получим

Интегрируем:

Постоянную интегрирования определяем из граничных условий: при r = r₀ (то есть на стенке трубы) должны выполняться условия прилипания и скорость жидкости должна быть равна нулю, = 0. Тогда

Подставляя значение постоянной интегрирования в формулу для определения скорости, получаем

(4.2)

Отсюда видно, что скорости в поперечном сечении трубы распределяются по параболическому закону. Наибольшая скорость будет при r = 0, то есть в центре трубы:

(4.3)

При ламинарном движении скорости малы, скоростные напоры (слагаемые в уравнении Бернулли, характеризующие кинетическую энергию жидкости) тоже малы, поэтому можно считать, что полная удельная энергия жидкости определится только двумя членами уравнения Бернулли: .

Тогда вместо полного гидравлического уклона можно ввести величину , понимая под h запас энергии в первом сечении относительно второго, равный . Этот запас часто называют действующим напором.

Тогда формула для скорости запишется в виде

(4.4)

Выведем теперь формулу для расхода.

Выделим в сечении потока элементарное кольцо, образованное двумя концентрическими окружностями, радиусы которых отличаются на малую величину dr (рис. 4.3). Расход жидкости через сечение этого кольца

Подставим в эту формулу выражение для скорости (4.4)

Для определения полного расхода через сечение трубы проинтегрируем это выражение по r в пределах от 0 до r₀:

(4.5)

Рис. 4.3

Среднюю скорость вычислим по формуле :

(4.6)

Сравнивая с _maxиз (4.3), видим, что _ср = 0,5 _max.

При переходе ламинарного течения в турбулентное характер распределения скоростей по сечению трубы изменяется. Если при ламинарном течении распределение скорости по сечению имеет параболический характер, то при турбулентном течении эпюра скоростей из-за перемешивания потока выравнивается, приближаясь к прямоугольной. Так как при турбулентных течениях скорость в каждой точке потока непрерывно пульсирует по величине и направлению (в определенных пределах), то для построения эпюр скоростей и при технических расчетах используются осредненные по времени значения скоростей.

Заметим еще, что при переходе от ламинарного к турбулентному течению не весь поток полностью турбулизируется: около стенок остается тонкий – так называемый пограничный – слой, в котором течение остается ламинарным.

Таким образом, получается, что при турбулентном движении _ср = (0,8 ÷ 0,9) _max.

Определим связь средней скорости движения жидкости при ламинарном и турбулентном режимах течения в трубопроводе с потерей напора.

Учитывая, что , для ламинарного режима из формулы (4.6) получим

Из этой формулы видно, что потери напора при ламинарном течении пропорциональны первой степени скорости.

При турбулентном же течении, как показывают исследования, потери напора пропорциональны скорости в степени m, меняющейся от 1,75 до 2,00. Таким образом, общий характер зависимости потерь напора от скорости можно выразить так:

· при ламинарном режиме

· при турбулентном режиме

где k₁и k₂ – соответствующие коэффициенты пропорциональности.

Отметим, что общий случай движения вязкой жидкости описывается дифференциальными уравнениями Навье–Стокса

Оператор Лапласа предполагает следующую операцию над своим переменным аргументом

.

Уравнения Навье–Стокса отличаются от уравнений Эйлера для идеальной жидкости наличием членов с вязкостью . В уравнениях Навье–Стокса четыре неизвестных – три проекции скорости и давление. Привлекая уравнение неразрывности в дифференциальной форме, получаем замкнутую систему для нахождения неизвестных. Но общего решения эти уравнения не имеют, их можно решить лишь для некоторых частных случаев. Например, формула (4.2) и есть частное решение для установившегося ламинарного течения вязкой жидкости в круглой цилиндрической трубе.