Собственные функции и собственные типы колебаний.

Прямое использование формулы (5.9) бессмысленно: первоначальное распределение поля в волне определяется спонтанными фотонами и поэтому произвольно, а световая волна проходит расстояние между зеркалами гораздо быстрее, чем мы можем рассчитать происходящие с при этом с ее распределением изменения. Нас же интересуют установившиеся распределения поля световой волны u_m на зеркалах резонатора, которые не меняют своей формы от прохода к проходу. Математически это означает, что действие оператора Ŵна функцию u_m, описывающую такое распределение, может быть заменено умножением этой функции на комплексную постоянную γ_m:

Ŵ u_m = γ_m u_m. (5.12)

В этом случаефункция u_m называется, как известно, собственной функцией оператора, а γ_m ― собственным значением для данной собственнойфункции. Типы колебаний, описываемые собственными функциями, называются собственными типами колебаний (модами). Индекс m поставлен потому, что число собственных функций оператора Ŵ бесконечно. Нумерацию установим по мере убывания модуля собственного значения |γ_m|.

Поскольку полное двумерное распределение факторизуется, т.е. описывается произведением двух функций, каждая из которых зависит только от одной координаты:

u_mn (x,y) = u_m(x) u_n(y),

соответственно и собственное значение будет равно произведению двух собственных значений:

γ_mn = γ_m γ_n.

Условие (5.10) можно рассматривать как интегральное уравнение для собственных функций.

Заметим, что собственные функции могут быть вырожденными, то есть иметь равные собственные значения.

Можно показать, что система собственных функций оператора Ŵполна, т. е. любую произвольную функцию v, описывающую возможное распределение поля в резонаторе можно представить в виде линейной комбинации собственных функций:

v = k₁ u₁+ k₂u₂+ k₃u₃+… = (5.13)

Для зеркал круглой формы проще вести рассмотрение в цилиндрических координатах. При этом будет получена другая система собственных функций, также являющаяся полной.

В соответствии с (5.12) можно записать однократное и многократное действие оператора Ŵ на произвольную функцию:

Ŵv = Ŵ Σ k_i u_i = ΣŴk_i u_i= Σk_i γ_i u_i . (5.14)

(Ŵ)^pv = (Ŵ) ^p Σ k_i u_i = Σ(Ŵ)^p k_i u_i= Σk_i γ_i^p u_i (5.15)

Из (5.15) видно, что по мере увеличения числа воздействий p оператора на функцию (в нашем случае эти воздействия эквивалентны однократному проходу излучения в резонаторе) основную роль начинают играть не первоначальные коэффициенты разложения k_i, а собственные значения γ_i^p, возводимые в степень числа воздействий. При достаточно большом числе проходов, независимо от первоначального вклада, основную роль будет играть первая собственная функция, характеризующаяся максимальной добротностью:

Σ k_i γ_i^p u_i →k₁ γ₁^p u₁ при p → ∞

Физический смысл этого утверждения понятен ― из порождаемой спонтанными фотонами первоначальной световой волны с произвольным распределением комплексной амплитуды после достаточно большого числа проходов остается собственное колебание, обладающее наименьшими потерями, то есть самое добротное.

Таким образом, задавая произвольное первоначальное распределение и осуществляя численное интегрирование (5.9) можно найти наиболее добротную собственную функцию u₁, соответствующую установившемуся в резонаторе распределению. Кроме этого, определяется и соответствующее собственное значение γ₁.

Мнимая часть собственного значения определяет набег фазы, который испытывает описываемая комплексной амплитудой волна за проход резонатора:

Im(Lnγ_mn) = α_mn + kL.(5.16)

Здесь выделен «геометрический» набег фазы, соответствующий расстоянию между зеркалами.

Для собственных колебаний набег фазы за обход резонатора должен быть равен целому числу π:

α_mn + kL = α_mn + 2 πL/ λ_mnq = q π,(5.17)

где q –целое число, называемое продольным индексом собственного колебания, в отличие от m и n, называемых поперечными индексами.

Выражение (5.17) показывает, что для собственных типов колебаний длина волны излучения может принимать дискретные значения λ_mnq .

Из (5.17) можно вычислить частоты ν_mnq, соответствующие собственным типам колебаний:

ν_mnq = qc/2L - c α_mn/2 π.(5.18)

Отсюда следует, что каждому поперечному распределению собственного типа колебаний u_mn может соответствовать множество дискретных частот, разделенных частотным интервалом c/2L.

Колебания, соответствующие собственным модам, почти полностью поперечны. Поэтому они обозначаются TEM (Transverse Electro Magnetic) с тройным индексом TEM_mnq, где m и n относятся к изменениям поля в плоскости, перпендикулярной оптической оси, а q — вдоль оптической оси (индекс q равен числу полуволн, укладывающихся на длине резонатора вдоль оси z). Индекс q имеет большие значения (L>>l), а m и n означают число пересечений осей координат по каждой из поперечных координат x и y.

Бытующее разделение собственных колебаний на продольные и поперечные терминологически, вообще говоря, некорректно. Каждый собственный тип колебаний характеризуется трехмерными свойствами.