Резонатор и проблема дифракционных потерь.

Очевидно, что кроме создания положительной обратной связи, необходимой для выполнения условия самовозбуждения и перехода в автоколебательный режим, резонатор оказывает влияние на характеристики лазерного излучения. Для выяснения этого влияния геометрических соображений недостаточно.

Полагая (см. Л2), что между плоскопараллельными круглыми зеркалами распространяется плоская волна, мы записывали условие резонанса как условие стоячей волны и , соответственно, получали оценку добротности такого резонатора. Допустим теперь, что внутри симметричного резонатора длиной l, радиусом зеркала а и отражением от зеркал по интенсивности R могут распространяться волны, падающие на зеркала не нормально, а под небольшим углом. Если такая плоская волна успеет отразиться (1/1–R) раз, прежде чем выйдет за пределы отражающих дисков, то соответствующий резонанс будет обладать примерно вдвое меньшей добротностью, чем для нормально падающей волны (см. рисунок 5.1).

Следовательно, угол

Q = 2a(1 – R)/l (5.1)

является предельным углом, ограничивающим направления распространения волн в резонаторе, соответствующих колебаниям с высокой добротностью.

Рассуждение допускает сильную нестрогость, поскольку игнорирует дифракционные потери на краях зеркал. Простейший учет этих потерь, приводящий к необходимости введения затухания резонатора, можно провести так. Введем некоторый эквивалентный коэффициент потерь b:

dI/dz = – bI (5.2)

Удобно записать b = A/l, где А — коэффициент потерь энергии за один проход между зеркалами. Введем плотность энергии r = I/c и, аналогично Л2, учтем, что dz = cdt. Тогда получим уравнение для r :

dr/dt = – (Ac/I)´r (5.3)

имеющее экспоненциальное решение:

r = r₀ exp(– t/t_эфф) (5.4)

где обозначено:

t_эфф = l/Ac = 1/bc (5.5)

Время t_эфф называют временем жизни фотона в моде. Можно связать t_эфф с добротностью резонатора:

(5.6)

где Т_l — период собственных колебаний рассматриваемой моды, причем для всех устойчивых мод резонатора Т_l << t_эфф.

Конечно, вопрос о существовании устойчивых мод резонатора тесно связан с дифракционными потерями. При каждом акте прохождения излучения между зеркалами и отражения от зеркал дифракционные потери препятствуют возвращению в резонатор полной энергии излучения в соответствии с коэффициентом отражения R. Следовательно, резонатор типа Фабри-Перо с конечными размерами зеркал вообще не должен создавать устойчивых пространственных конфигураций поля, если оставаться в рамках геометрических представлений, т.е. трактовать поле в резонаторе в виде плоской волны с постоянной амплитудой.

Закономерен вопрос: можно ли при учете дифракционных потерь все-таки найти такое распределение поля в резонаторе (разумеется, отличающееся от канонической плоской волны), что при большом числе проходов оно будет воспроизводиться, то есть возможно ли стационарное состояние поля при учете дифракционных потерь? Ответ — положительный — на этот вопрос был впервые дан в 1961 г. Фоксом и Ли, проделавшими итерационный расчет с применением принципа Гюйгенса-Френеля.[1].

v(Q) = (ik/4π) v(s) (e^-ikr/r) (1 + cos θ) ds (5.8)

где k= 2π/λ — постоянная распространения световой волны(волновое число).

При рассмотрении резонаторов в качестве поверхности S естественно взять поверхность зеркала резонатора. В этом случае, если мы каким-либо образом узнаем распределение амплитуды поля волны на одном из зеркал резонатора, то мы сможем по формуле (5.8) рассчитать, каким будет распределение поля для волны, прошедшей через резонатор ко второму зеркалу.

В этом случае с учетом двумерности поверхности зеркала формула Френеля-Кирхгофа может быть записана в виде:

v₂(х₂,y₂) = (ik/4π) v(х₁,y₁) (e^-ikr/r) (1 + cos θ) dx₁dy₁, (5.9)

где х₁,y₁, х₂,y₂ ¾ линейные координаты в плоскости первого и второго зеркал, а r и θ зависят от всех четырех координат.

Будем рассматривать резонатор с одинаковым зеркалами. B этом случае формула (5.9) будет справедлива как для прямого, так и для обратного прохода. Символически эту формулу можно записать в виде:

v_р+1(х₂,y₂)= Ŵv_р(х₁,y₁), (5.10)

где v_р(х₁,y₁) — распределение поля на зеркале 1 после p проходов;

v_р+1(х₂,y₂) — распределение поля на зеркале 2 после p+1 прохода;

Ŵ —оператор (функционал) формулы Френеля-Кирхгофа, описывающий исследуемый резонатор.

Из (5.9) следует, что оператор Ŵ ― линейный, то есть для любых двух функций v_i и v_k справедлива формула:

Ŵ(α_iv_i + α_kv_k ) = α_iŴv_i + α_kŴv_k , (5.11)

где α_i и α_k ― произвольные константы.

Двойной интеграл в (5.9 — 5.11) можно представить в качестве произведения двух одномерных интегралов, каждый из которых зависит только от одной координаты. Поэтому далее будем рассматривать одномерные интегралы.