Статистика электронов и дырок в полупроводниках
Равновесные процессы – процессы, происходящие в телах, которые не подвергаются внешним воздействиям. В состоянии термодинамического равновесия для данного образца кристалла при заданной температуре существует определенное распределение электронов и дырок по энергиям, а также значения их концентраций. Вычисление концентраций основных и неосновных носителей заряда составляет главную задачу статистики электронов и дырок в кристаллах.
Рассматриваемая задача распадается на две части: чисто квантово-механическую – нахождение числа возможных квантовых состояний электронов и статистическую – определение фактического распределения электронов по этим квантовым состояниям при термодинамическом равновесии.
Исходя из принципа неопределенности Гейзенберга для квазиимпульсов dpx, dpy и dpz:
,
, (3.8)
.
Внутри объема dp = h3 в зоне Бриллюэна может иметь место только одно квантовое состояние, которое как бы размыто по всему этому объему. Итак, h3 – это объем одной “квартирки” в зоне Бриллюэна, в которую можно поместить только два электрона с разными спинами, и не более.
Поэтому число квантовых состояний на единицу объема кристалла, равно – в объеме dp.
При заполнении зоны проводимости электронами заполняются
вначале самые нижние уровни. Зона проводимости – одномерная относительно энергии (рис. 1.3а). Зона Бриллюэна – трехмерная (px, py, pz) (рис. 1.3б). Заполнение зоны Бриллюэна начинается с самых малых значений квазиимпульса p. Поэтому в качестве dp надо выбрать элемент объема, заключенный между двумя очень близкими изоэнергетическими поверхностями(см. рис. 1.3б). Внутри этого тонкого шарового слоя радиусом p и толщиной dp число квантовых состояний будет равно:
. (3.9)
Рис. 3.10. Диаграмма для расчета плотности квантовых состояний:
а) распределение электронов по энергии в зоне проводимости; б) зона Бриллюэна для расчета плотности состояний
Число квантовых состояний в зоне проводимости в узком интервале энергий от Е до Е + dЕ, рассчитанное на единицу объема кристалла, можно представить в виде N(E)dE, где N(E) есть плотность состояний.
. (3.10)
Отсюда
. (3.11)
Аналогичная формула получается и для валентной зоны, но только вместо (Е – ЕC) напишем (ЕV – Е), а вместо mn – эффективную массу дырки mp.
Как видно из (1.6), плотность квантовых состояний возрастает по мере удаления от дна зоны проводимости.
Дата добавления: 2017-01-26; просмотров: 1233;