Глава 2. Динамическое представление сигналов
Во многих технических задачах, например при вычислении отклика физической системы на известное входное воздействие, требуется специфическая форма представления сигнала. Необходимо не только располагать информацией о мгновенном значении сигнала, но и знать его поведение на всей временной оси.
Способ получения таких моделей сигналов состоит в следующем. Реальный сигнал приближенно представляется суммой некоторых элементарных идеальных сигналов, возникающих в последовательные моменты времени. Если теперь устремить к нулю длительность отдельных элементарных сигналов, то в пределе будет получено точное представление исходного сигнала.
Широкое распространение получили два способа динамического представления. Согласно первому из них в качестве элементарных сигналов используют ступенчатые функции, возникающие через равные промежутки времени (рис. 3). Высота каждой ступеньки равна приращению сигнала на интервале времени . | |
Рис. 3 |
Рассмотрим свойства такого элементарного сигнала. Пусть дан сигнал, математическая модель которого задается системой:
(1)
Такая функция описывает процесс перехода некоторого физического объекта из «нулевого» в «единичное» состояние. Переход совершается по линейному закону за время . Если параметр устремить к нулю, то в пределе переход из одного состояния в другое будет совершаться мгновенно. Математическая модель этого предельного сигнала получила название функции включения или функции Хевисайда:
(2)
Рассмотрим некоторый сигнал , причем для определенности положим, что при . Пусть – последовательность моментов времени и – отвечающая им последовательность значений сигнала (рис. 4). Как видно из рисунка, текущее значение сигнала при любом приближенно равно сумме ступенчатых функций: | |
Рис. 4 |
.
Если теперь шаг устремить к нулю, то дискретную переменную можно заменить непрерывной переменной . При этом малые приращения превращаются в дифференциалы и получается формула динамического представления произвольного сигнала посредством функций Хевисайда:
. (3)
При использовании второго способа элементарными сигналами служат прямоугольные импульсы. Эти импульсы непосредственно примыкают друг к другу и образуют последовательность, вписанную в кривую (рис. 5). Рассмотрим свойства такого элементарного сигнала. | |
Рис. 5 |
Математическая модель импульсного сигнала прямоугольной формы задается следующим образом:
(4)
При любом выборе значения параметра площадь этого импульса равна единице:
.
Пусть теперь величина стремится к нулю. Импульс, сокращаясь по длительности, сохраняет свою площадь, поэтому высота его должна неограниченно возрастать. Предел последовательности таких функций при носит название дельта–функции или функции Дирака:
. (5)
Возвращаясь к рис. 5, обозначим – значение сигнала на –м отсчете. Тогда элементарный импульс с номером представляется следующим образом:
. (6)
В соответствии с принципом динамического представления исходный сигнал должен рассматриваться как сумма таких элементарных слагаемых:
. (7)
В этой сумме отличным от нуля будет только один член, отвечающий тому номеру , который удовлетворяет неравенству .
Если подставить (6) в (7), предварительно разделив и умножив на величину шага , то
.
Переходя к пределу при , необходимо заменить суммирование интегрированием по формальной переменной , дифференциал которой будет отвечать величине .
Поскольку , получим искомую формулу динамического представления сигнала с помощью дельта–функции
. (8)
Итак, если непрерывную функцию умножить на дельта–функцию и произведение проинтегрировать по времени, то результат будет равен значению непрерывной функции в той точке, где сосредоточен -импульс.
Дата добавления: 2016-09-06; просмотров: 2497;