Устойчивость оболочки при внешнем давлении
Если оболочка очень длинная, то влиянием условий закрепления ее торцов на величину критического давления можно пренебречь. Это означает, что оболочка может деформироваться без удлинений и сдвигов срединной поверхности. Тогда каждое поперечное сечение будет вести себя как кольцо. Следовательно, можно воспользоваться решением для кольца, положив его толщину равной толщине оболочки, а ширину - единичной.
Тогда и формула (19.23) даст
(20.16)
или
.
Форма потери устойчивости нерастяжимой оболочки описывается собственными функциями
. (20.17)
Отметим, что так может потерять устойчивость и не слишком длинная оболочка при условии, что ее торцы свободны от закрепления.
Для оболочки с закрепленными торцами следует решать задачу на собственные значения (20.14),(20.15), положив .
Решение этой задачи всегда можно строить в одинарных рядах
(20.18)
В этом случае мы придем к системе или одному уравнению с постоянными коэффициентами по координате и далее - к системе восьми трансцендентных уравнений относительно , выражающих граничные условия. Решение такой системы возможно только с помощью ЭВМ, а ее качественный анализ практически невозможен.
Лишь при одном варианте граничных условий решение оказывается простым. Это условия, допускающие решение в двойных тригонометрических рядах
(20.19)
Представление (29.19) отвечает условиям на торцах
(20.20)
причем условия по означают
Эти условия можно представить себе так: нерастяжимый торец оболочки шарнирно скреплен со шпангоутом, абсолютно жестким в своей плоскости и абсолютно гибким из нее.
Вследствие ортогональности тригонометрических функций в (29.19) уравнения (20.14) распадутся на независимые
(20.21)
Приравнивая нулю определитель системы (20.21), получаем
(20.22)
где введены безразмерные параметры
Очевидно, что будет получаться из (20.22) при что соответствует одной полуволне в продольном направлении,
(20.23)
а значение дающее , будет зависеть от сочетания параметров и .
Для качественного анализа удобно ввести безразмерное критическое давление
где - определяется формулой (20.16).
Напомним, что уравнения (20.14) и, следовательно, формула (20.23) получены для упрощенных соотношений (20.2),(20.3). Поэтому при величина не стремится к единице.
Если же не упрощать соотношения (20.2),(20.3), и решать задачу в перемещениях, то мы получим вместо (20.23) более громоздкую, однако более точную формулу
. (20.24)
Эта формула при обращается в (20.16). Анализ показывает, что формулой (20.24) можно пользоваться при Такие оболочки принято называть длинными.
Для оболочек средней длины как показывают вычисления, можно принять и тогда формулы (20.23), (20.24) принимают вид
Поскольку достаточно велико, зависимость можно считать непрерывной и, дифференцируя по из условия найти (при
(20.25)
Это формула Папковича. В безразмерном виде она выглядит так
Для коротких оболочек формула (20.24) также упрощается. В этом случае оказывается настолько велико, что в формуле (20.23) можно опустить второй член. Тогда
(20.26)
вызывает потерю устойчивости с образованием полуволн.
Приведенные результаты справедливы, строго говоря, только для граничных условий (20.20). Однако исследования показывают, что ими можно пользоваться и при других условиях на торцах оболочки. Исключение составляют такие варианты закрепления торцов, которые в конструкциях не реализуются.
С другой стороны, нагружение реальных оболочек внешним давлением практически всегда сопровождается их сжатием или растяжением. Например, при всестороннем сжатии цилиндрической оболочки с днищами
Это сжатие можно учесть, добавив к величину Результаты показывают, что влияние осевых усилий , соизмеримых с , существенно лишь для очень коротких оболочек, которые можно рассчитать по формулам типа (20.26) как пластины.
Иная картина возникает, когда Такую задачу называют задачей устойчивости при осевом сжатии.
Дата добавления: 2016-09-06; просмотров: 4030;