Основные зависимости для круговой цилиндрической оболочки
В задачах устойчивости стержней и пластин критические нагрузки пропорциональны изгибным жесткостям
и не зависят от жесткостей на растяжение - сжатие.
При деформации же оболочек вследствие их кривизны удлинения и сдвиги срединной поверхности имеют тот же порядок, что и прогибы. Это влечет за собой не только зависимость от жесткости срединной поверхности, приводящее к тому, что результат зачастую не может быть выражен формулой, но порождает также и качественно иную картину потери устойчивости.
Поскольку потеря устойчивости всегда сопряжена с изгибными деформациями, для ее исследования необходимо использовать соотношения моментной теории оболочек. Приведем упрощенные линейные соотношения для моментной цилиндрической оболочки.
Компоненты деформации срединной поверхности
(20.1)
Углы поворота нормали
. (20.2)
В предположении, что деформации срединной поверхности не влияют на ее кривизну
. (20.3)
Погонные усилия и моменты, положительные направления которых показаны на рис.20.1, выражаются через соответствующие деформации формулами
(20.4)
(20.5)
Уравнения равновесия показанного на рис.20.1 элемента в недеформированном состоянии имеют вид
(20.6) (20.7)
(20.8)
После исключения с помощью (20.8) уравнение (20.7) принимает вид
(20.9)
Таким образом, задача свелась к системе трех уравнений (20.6), (20.9). Ее можно решать в перемещениях, выражая с помощью (20.1) - (20.5) через . Однако удобнее перейти к смешанной форме.
Вводя аналогично плоской задаче функцию усилий с помощью соотношений
(20.10)
мы тождественно выполняем уравнения (20.6), но при этом обязаны привлечь уравнение совместности деформаций, имеющее вид
.
В итоге задача сводится к системе не трех, а двух уравнений
(20.11)
Эту систему можно свести и к одному уравнению, исключив функцию . Для этого необходимо второе уравнение дважды продифференцировать по , а на первое подействовать оператором . В итоге получим уравнение восьмого порядка
(20.12)
Отметим, что такое сведение возможно лишь для упрощенных геометрических соотношений (20.2),(20.3) с отброшенными членами. В противном случае задачу следует решать в перемещениях.
Построив тем или иным способом решение системы (20.11) и подчинив его граничным условиям, мы найдем напряженно-деформированное состояние оболочки при сколь угодно большой нагрузке. Поскольку эти уравнения линейны, решение будет единственным.
Как известно, для решения задачи устойчивости таких уравнений недостаточно. Необходимо записать нелинейные уравнения равновесия оболочки в деформированном состоянии.
Дата добавления: 2016-09-06; просмотров: 1290;