Уравнение кривой распределения

Вернемся к анализу дифференциального уравнения Пирсона (4.3) для кривых плотности распределения вероятности центриро­ванных случайных величин, представленных в модульных коэффи­циентах. Для определения коэффициентов b_i в знаменателе правой части уравнения (4.3) была выведена система уравнений (4.11).

Пусть теперь случайная величина X является заведомо положи­тельной, т.е. х_мин ≥0, и положительно асимметричной. Заметим сразу, что положительная асимметричность распределения явля­ется характерным свойством многих геоэкологических рядов наб­людений. Так, например, значения концентрации растворенных веществ, стока воды и осадков, как правило, больше или равны нулю, и, следовательно, имеют положительную асим­метрию.

Как показано ранее (см. рис. 4.1),

(4.28)

Так как по условию k_мин ≥0, то естественно, что a+d ≤ 1. Предположим, что b₂ = b_з = ... = 0, тогда из системы (4.11) следует

(4.29)

Исходя из этих соотношений можно получить выражение радиуса асимметрии d через второй и третий моменты распределения. Действительно, заменив в третьем уравнении системы (4.27) b₁ на - d, получим

(4.30)

Теперь предположим, что в уравнении (4.3) b₂=bз = . . = 0, тогда, предварительно разделив переменные, получим

Затем, преобразуем подынтегральное выражение в правой части равенства, умножая числитель и знаменатель на b₁ и прибавляя и отнимая в числителе b_o. Тогда

и, решая интегралы в левой и правой частях, уравнения, получаем

(4.31)

Отсюда

(4.32)

Заметим теперь, что в левой крайней точке распределения, т. е. при минимальном значении z, у = 0. Тогда из уравнения (4.32) при z = z_мин получим b_o+b₁z_мин=O, т.е. при b₁≠0 для асиммет­ричного распределения z_мин = - bo/b₁.

Так как расстояние от z_мин до центра распределения т_к равно (a+d) (см. рис. 4.1), то можно записать

(4.33)

Используя соотношение (4.33) и определяя b₁ по системе (4.29), получаем

(4.34)

Перенесем начало отсчетов по оси абсцисс в точку, соответ­ствующую моде распределения. Тогда отсчеты относительно моды в случае положительной асимметрии

Преобразуем множитель уравнения (4.32), стоящий в скобках, заменив значения z на z' и подставив значение а по формуле (4.33).Тогда

(4.35)

Подставим выражения (4.34) и (4.35) в исходное уравнение (4.32)

(4.36)

Дальше для удобства будем обозначать z' через z, имея в виду, что z теперь — отсчет по оси абсцисс от моды. Преобразуем полу­ченное выражение, сгруппировав отдельно все параметры, не зави­сящие от z, и обозначив их через С. Тогда

y= C exp(-z/d)(1+z/a)^a/d (4.37)

При z = 0, т. е. в моде распределения значение у (плотность вероятности) будет максимальным. Обозначим это значение через у_о. Из уравнения (4.35) получаем для z= 0, у_о=с. Тогда оконча­тельный вид уравнения кривой Пирсона III типа при отсчете z относительно моды распределения

(4.38)

где у_о — максимальная ордината распределения.

Выразим теперь параметры a и d через C_v и C_s. При этом, согласно формулам (3.32), (3.33) в данном случае,

Подставим эти выражения моментов в формулу (4.28). Тогда радиус асим­метрии

(4.39)

После подстановки в формулу (4.33) значений b_o и b₁ из системы (4.27) получим

(4.40)

Из формул (4.33) и (4.40) следует, что расстояние от центра распределения до его левого конца

(4.41)

В соответствии с формулой (4.26) a+d=1-к_мин Отсюда получаем выражение, связывающее коэффициент асимметрии с величиной к_мин,

(4.42)

Из формулы (4.42) следует, что C_s ≥2 C_v, а если k_мин=0, то C_s =2 C_v.

Таким образомзначения C_s для кривой Пирсона III типа всегда больше или равны 2C_V.

4.4.2. Запись уравнения кривой распределения Пирсона III типа через гамма-функцию