Фильтры нижних частот

Цепи нижних частот второго порядка описываются следующей передаточной функцией

,

где полюсы этой функции, .

Число представляет собой вещественную часть полюсов.

Размещение полюсов и ( , ) на комплексной плоскости, АЧХ и ФЧХ фильтра нижних частот второго прядка представлены на рис. 2.5.

Рис. 2.5 – Фильтр нижних частот второго порядка

Амплитудно-частотная характеристика фильтра, на частоте , определяется следующим выражением

,

или

,

Найдем значение переменной , при котором функция принимает наибольшее значение. Так как числитель функции это постоянная величина, то функция принимает наибольшее значение , при знаменателе функции , принимающем наименьшее значение.

Подставим выражения в знаменатель

.

Функция, расположенная под корнем, это неотрицательная и немонотонная функция, имеющая перегибы. Раскроем скобки в этой функции и получим удобное, для нахождения производной, выражение

Упростим полученное выражение, группируя коэффициенты при переменных , , ,

.

Найдем производную (по переменной ) для этого выражение и приравняем производную нулю. Получим следующие уравнение

.

Решение этого уравнения даст точки перегиба. Уравнение станет равенством в двух следующих случаях: при и при .

Обозначим переменную как искомую переменную . При функция примет наибольшее значение . Очевидно, что .

Подставим выражение в и получим выражение для

.

Следует отметить, что при , а при .