Связь вектора момента силы и момента импульса

Динамика вращательного движения

1. Момент инерции материальной точки,

Момент инерции м.т. ( ) относительно полюса – скалярная величина, равная произведению массы этой точки на квадрат расстояния до полюса:

(1)

Момент инерции системы материальных точек

Тело можно представить состоящим из большого числа м.т., тогда момент инерции системы м.т. равен:

, (3)

где - масса i - ой м.т.; - ее расстояние до полюса О.

Моментом инерции системы м.т. или тела относительно полюса называют алгебраическую сумму произведений масс м.т., из которых состоит тело, на квадрат расстояния их до полюса О.

Теорема Штейнера

Для установления связи между моментом инерции тел относительно двух параллельных осей применяется теорема Штейнера:

(4)

где - момент инерции относительно новой оси; - момент инерции относительно центра масс; d – расстояние между осями

Таблица моментов инерции некоторых твердых тел

(ось проходит через геометрический центр тел)

тело	рисунок	момент инерции
Однородный стержень		Относительно края стержня:
Сплошной цилиндр радиуса R.
Однородный диск
Тонкое кольцо радиуса R.
Полый цилиндр с внутренним r и внешним R радиусами
Тонкое кольцо радиусом R и ширенной d
Сплошной шар	_
Сфера	_

Момент силы,

Вектором момента силы относительно полюса называют векторное произведение радиус-вектора и вектора силы:

(5)

Направление вектора момента силы находится по правилу правого винта (см. рис): перенесем вектор параллельно самому себе так, чтобы совпадали начала векторов и . Если вращать головку винта в направлении от вектора к вектору , то поступательное движение винта укажет направление вектора момента силы .

Модуль вектора момента силы равен:

, (6)

где - угол между радиус-вектором и линией действия силы.

Момент равнодействующей силы относительно полюса О равен геометрической сумме векторов моментов составляющих сил относительно того же полюса:

(7)

Или (8)

5. Момент импульса материальной точки,

Вектором момента импульса м.т. относительно полюса О называют векторное произведение радиус – вектора и вектора импульса относительно этого же полюса.

Радиус-вектор проводится от полюса О до м. т.

(9)

Направление вектора момента импульса находится по правилу правого винта и совпадает с вектором угловой скорости.

Если учесть, что , тогда момент импульса равен:

или (10)

Момент количества движения твердого тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.

Модуль вектора момента импульса равен:

, (11)

Вектор момента импульса системы м.т. от-но полюса О равен геометрической сумме векторов моментов импульса, действующих на каждую точку в отдельности от-но того же полюса О:

(12)

Или (13)

Связь вектора момента силы и момента импульса

Продифференцируем (10) по времени:

(14)

Т.к. полюс неподвижен, то первое слагаемое равно нулю (т.к. первая производная перемещения по времени равна скорости). Тогда коллинеарны, а произведение коллинеарных векторов равно нулю.

Поэтому (15)

Согласно II закону Ньютона , (16)

значит (15) будет иметь вид:

или (17)

Выражение (17) устанавливает связь между и .

связь между и

- производная вектора момента импульса по времени относительно неподвижного полюса равна вектору момента силы, действующей на эту м.т. относительно того же полюса