Фильтры нижних и верхних частот.

В качестве фильтров нижних и верхних частот используется как нерекурсивные, так и рекурсивные цифровые фильтры (ЦФ), которые соответственно определяются соотношениями :

где —отсчеты входного и выходного сигналов фильтра соответственно (i=1, 2, 3, ...); -целые неотрицательные числа, определяющие пределы суммирования; —коэффициенты фильтра.

Нерекурсивные ЦФ более сложны в вычислительном отношении, чем рекурсивные с аналогичными частотными характеристикам. Однако для рекурсивных фильтров труднее обеспечить линейность фазовой характеристики (т. е. постоянство временной задержки для составляющих всех частот), что очень важно при анализе сигнала, так как нелинейность фазовой характеристики может приводить к его изменению. Кроме того, для рекурсивных фильтров при реализации их микропроцессорами невысокой разрядности (8—16 бит) не всегда удается обеспечить устойчивость и избежать накопления ошибок, в то время как для нерекурсивных ЦФ этой проблемы не существует. В силу перечисленных причин более широкое распространение в алгоритмах оперативного анализа ритма сердца находят нерекурсивные фильтры, хотя это не исключает возможности использования в ряде случаев и рекурсивных ЦФ как в качестве ФВЧ, так и в качестве ФНЧ.

Используемые в КМ нерекурсивные ЦФ имеют обычно предельно упрощенный вид импульсных характеристик, что вызвано необходимостью снижения их вычислительной сложности. В частности, во многих разработках используются ФНЧ с прямоугольной или треугольной формой импульсных характеристик, которые соответственно описываются следующим образом:

где ; k — целое положительное число. Приведенные фильтры отличаются простотой реализации, но их АЧХ имеют значительные пульсации в области верхних частот (выше частоты среза), достигающие 20—25 % от максимального значения коэффициента передачи, что означает недостаточно хорошее подавление этими фильтрами высокочастотных помех. Предлагаются и более сложные в вычислительном отношении ФНЧ, которые способны обеспечить лучшее качество фильтрации.

Линейность фазовых характеристик нерекурсивных ЦФ обеспечивается при соблюдении одного из четырех условий симметрии импульсной характеристики:

симметричности при нечетном числе коэффициентов;

симметричности при четном числе коэффициентов;

антисимметричности при нечетном числе коэффициентов;

антисимметричности при четном числе коэффициентов.

Из перечисленных видов фильтров только первые два могут иметь частотную характеристику ФНЧ, причем фильтр с четным числом коэффициентов вносит задержку, кратную половине интервала дискретизации, что может создавать неудобства для дальнейшего анализа сигнала. Поэтому наиболее подходящими следует считать нерекурсивный ЦФ с симметричной импульсной характеристикой при нечетном числе коэффициентов, которые определяются соотношением:

-

где — отсчеты входного и выходного сигналов; N — число коэффициентов фильтров (длина импульсной характеристики);

— коэффициенты фильтра. Амплитудно-частотная характеристика для такого фильтра может быть найдена по формуле:

где - частота дискретизации сигнала.

Идеальный фильтр нижних частот должен иметь АЧХ типа той, которая показана на рис. 6,а. Все составляющие входного сигнала с частотами ниже частоты среза F_c такой фильтр бес­препятственно пропускает, а остальные — полностью устраняет. Однако практическая реализация идеального фильтра невозмож­на, так как он должен был бы иметь бесконечное число коэффициентов. Вид асимптотической АЧХ фильтра, реализуемого на практике, приведен на рис. 6,6. Различают три диапазона частот:

-полоса пропускания;

- переходная полоса;

— полоса задержки.

Здесь и - соответственно нижняя и верхняя границы пере­ходной полосы. Амплитудно-частотную характеристику имеет смысл рассматривать в диапазоне частот от 0 Гц до половины частоты дискретизации , так как на интервале она симметрично продолжается, а на более высоких частотах пов­торяется с периодом В данном случае ширина переходной полосы . Казалось бы, чем уже переходная полоса, тем частотная характери­стика ближе к идеальной и, следовательно, лучше фильтр. Однако это утверждение нельзя считать очевидным. У фильтров с более узкой переходной полосой сильнее проявляются пульсации, вызываемые высокочастотными компонентами входного сигнала, которые могут, например,, привести к возникновению ложных зубцов у желудочковых комплексов ЭКГ. Кроме того, такие фильтры имеют и более длинную :импульсную характеристику, что затрудняет их реализацию в устройствах оперативной обработки сигнала.

Рис. 6. Амплитудно-частотная характеристика идеального (а) и приближенного к реальному (б) ФНЧ

Например, для оперативного анализа ритма сердца в микропроцессорных КМ на­иболее подходящими оказываются ФНЧ с =30 Гц и с = 20— 25 Гц при =250 Гц. Этим условиям удовлетворяет ФНЧ, задан­ный уравнением:

Его импульсная и амплитудно-частотная характеристики приведены на рис. 7. Как можно видеть, АЧХ этого фильтра близка к желаемой, а простота реализации обеспечивается тем, что его коэффициенты представляют собой правильные дроби со знамена­телем, равным 32 = 2⁵, а их сумма равна единице.

Реализация нерекурсивных ФВЧ оказывается значительно сложнее, чем реализация ФНЧ, так как требуемые для фильтрации ЭКС цифровые фильтры верхних частот могут иметь до 50 и бо­лее коэффициентов. Поэтому на практике удается использовать только сравнительно узкий класс нерекурсивных ФВЧ, которые могут быть сделаны простыми для вычисления. Наиболее часто для этой цели используют упоминавшиеся выше ФНЧ с прямо­угольной или треугольной импульсной характеристикой, преобра­зованные в ФВЧ. Если ФНЧ задан выражением

Рис. 7. Амплитудно-частотная (а) и импульсная (б) характеристики ФНЧ

то соотношение вида

соответствует фильтру верхних частот с амплитудно-частотной характеристикой

где — амплитудно-частотная характеристика взятого за основу ФНЧ. Здесь необходимо оговориться, что это справедливо лишь при выполнении условия:

чего на практике всегда можно достичь соответствующим масшта­бированием коэффициентов. На рис. 8 проиллюстрирован принцип построения ФВЧ на основе известного ФНЧ и показана взаи­мосвязь между их импульсными и амплитудно-частотными харак­теристиками.

Например, с точки зрения решения задачи обнаружения QRS-комплекса ЭКС на фоне помех наилучшие результаты дает применение ФВЧ с = = 5 Гц и =3—4 Гц. В качестве конкретного фильтра, удовлетво­ряющего указанным условиям и пригодного для реализации в микропроцессорных КМ, может быть предложен ФВЧ; коэффициенты Cj которого (при j = -22, -21, ..., 0, ..., 21, 22) имеют следу­ющие значения:

Этот ЦФ получен подбором коэффициентов на основе фильтра с треугольной импульсной характеристикой. Нетрудно показать, что

Рис. 8. Построение ФВЧ на основе известного ФНЧ

V

данный ФВЧ может быть преобразован в рекуррентную форму

что существенно упрощает его программную реализацию. Ам­плитудно-частотная характеристика этого фильтра показана на рис. 9.

Рис. 9. Амплитудно-частотная ха

­рактеристика ФВЧ

Рис. 10. Амплитудно-частотная ха­рактеристика результирующего поло­сового фильтра

Последовательная фильтрация сигнала с помощью ФНЧ и ФВЧ, АЧХ которых приведены на рис. 7 и 9, эквивалентна использованию полосового фильтра, частотная характеристика которого представлена на рис. 10, а на рис. 11 показаны примеры обработки фрагментов ЭКС с применением этих фильтров.

Еще одним примером применения нерекурсивных ФВЧ может служить про­цедура оценки зашумленности ЭКС по относительному содержанию в сигнале высокочастотных составляющих. Для этой цели часто используется вторая раз­ность отсчетов сигнала, представляющая собой цифровой фильтр, задаваемый выражением

Рис. 11. Примеры предварительной обработки фрагментов ЭКС с помощью цифровой фильтрации:а — исходный ЭКС; б - ЭКС после ФНЧ; в - ЭКС после ФВЧ

Частотная характеристика этого фильтра для частоты дискретизации, равной. 250 Гц, показана на рис. 12. Как видно .из рисунка, фильтр усиливает составляющие сигнала, спектр которых лежит в полосе частот приблизительно от 40 Гц и выше, т. е. ту часть ЭКС, которая почти не содержит полезной для оперативного анализа информации.

Для оценки уровня зашумленности сигнала обычно используют скользящее •среднее модулей отсчетов сигналя, прошедшего через ЦФ второй разности от­счетов:

где z_i — i-й отсчет скользящего среднего, а N — размер окна усреднения (как правило, N лежит в пределах от 10до 30). Уровень помех считают недопустимо высоким, если хотя бы для одного i, относящегося к анализируемому фрагменту сигнала, значение z_i оказывается выше определенного порога. Высота этого порога зависит отзадач и условий обра­ботки и должна подбираться экспе­риментально для каждого конкретного ал­горитма.

Рис. 12. Амплитудно-частотная характе­ристика фильтра для оценки зашумленности сигнала

СЖАТИЕ СИГНАЛА

Представление сигнала регулярной выборкой отсчетов, получае­мой в результате его дискретизации, часто оказывается избыточ­ным. Сократить избыточность позволяют методы сжатия данных, суть которых заключается в уменьшении объема исходной инфор­мации путем отбора меньшего числа существенных координат. Эти координаты могут быть получены либо в результате некото­рого преобразования дискретного сигнала, либо выбраны непос­редственно из исходной выборки отсчетов. Чаще всего сжатие данных связано с некоторой потерей информации, из-за чего ис­ходный сигнал не может быть точно восстановлен.

Возможность получения эффективного сжатия сигнала связана с тем, что высокочастотные компоненты сигнала присутствуют на достаточно коротких отрезках времени. Частота дискре­тизации рассчитывается на допустимые ошибки дискретного пред­ставления именно этих фрагментов сигнала, поэтому описание регу­лярной выборкой отсчетов низкочастотных участков сигнала оказывается избыточным. Для устранения этой избыточности предложены различные методы сжатия, связанные с решением многих задач хранения, передачи и обработки сигнала.

Каждая из задач предъявляет свои требования к разрабатыва­емому методу сжатия и определяет его специфические особенно­сти, но общим требованием является получение достаточно эффек­тивного сокращения объема данных. Для оценки эффективности сжатого представления сигнала обычно применяют два показате­ля: коэффициент сжатия, определяемый отношением числа исход­ных отсчетов сигнала к числу полученных координат, и ошибка восстановления сигнала. В качестве последней чаще всего исполь­зуется абсолютная или средняя квадратическая ошибка . Подход к выбору метода сжатия и оценка его эффективности должен определяться конкретной целью его применения. В .задачах хранения и передачи данных обычно задается допустимый уровень искажения восстановленного сигнала, а выбор конкрет­ного метода осуществляется исходя из условий получения наилуч­шего значения коэффициента сжатия при известной или допусти­мой сложности реализации алгоритма кодирования-декодирования сигнала.

При использовании сжатия в качестве процедуры предвари­тельной обработки сигнала в КМ критерий верности восстановления сигнала не всегда доминирует. Часто основным фактором стано­вится возможность получения компактного описания, эффектив­но выявляющего структурные особенности анализируемого сигнала. Применяемый в этом случае метод сжатия должен сохранить об­раз обрабатываемой кривой, поскольку именно в нем содержится полезная информация, необходимая для распознавания сигнала. Кроме того, он должен отличаться высоким ко­эффициентом сжатия, простотой технической реализации и воз­можностью выбора координат в реальном масштабе времени.

Среди существующих методов сжатия данных можно выделить группу методов, основанных на разложении сигнала по ортого­нальным функциям. Применение для целей сжатия разложения Карунена-Лоэва, ряда Фурье, преобразования Хаара позволяет достигать высоких коэффициентов сжатия, однако требует боль­шого объема вычислений. Кроме того, возникает проблема пред­варительного выделения цикла, что затрудняет реали­зацию этих методов в системах реального времени. Такое сжатие используется для хранения сигнала в автоматизированных ар­хивах и передачи сигнала на расстояние, когда нет жестких требо­ваний к сложности алгоритмов обработки и скорости вычислений.

Широкое применение получили методы сжатия, основанные на амплитудно-временных преобразованиях сигнала. К наиболее про­стым относится метод разностного кодирования, который обеспечивает сокращение избыточности регулярной выборки отсче­тов за счет уменьшения объема каждой координаты. Принцип ко­дирования заключается в том, что для каждого i-гo отсчета сигнала u(t), u_i = u(t_i), поступившего на вход алгоритма сжатия, вычи­сляется разность значений соседних ординат (u_j—u_i-1), которая по модулю, как правило, меньше значений самих отсчетов, осо­бенно на участках сигнала с малой крутизной. Благодаря такому преобразованию удается уменьшить длину используемых слов, что приводит к сокращению объема памяти, необходимого для хране­ния и передачи сигнала. Важно отметить, что этот метод обеспечива­ет абсолютно точное восстановление дискретизованного сигнала. Если разрядность используемых кодовых слов значительно превы­шает разрядность вычисленных разностей, можно получить до­полнительное сжатие данных за счет более компактного их раз­мещения в информационном поле. Использование такого способа кодирования для хранения реализаций ЭКГ, представленных в виде последовательности отсчетов разрядностью 8—12 бит, сле­дующих с частотой 500 Гц, 16-разрядными словами, позволяет обеспечивать сокращение объема памяти более чем в 4 раза.

Достаточно распространены методы сжатия сигнала, исполь­зующие аппроксимацию сигнала на отдельных временных отрез­ках различными функциями. В качестве аппроксимирую­щих функций могут быть взяты алгебраические полиномы раз­ных степеней или специальные функции, но большинство алгорит­мов предполагает использование низкостепенных приближающих функций (ступенчатая или линейная аппроксимация). Это объяс­няется в основном их относительной простотой и высоким быстро­действием, что имеет решающее значение для задач передачи и обработки сигнала в реальном масштабе времени.

Среди методов описания сигнала специальными функциями из­вестен метод кодирования ЭКС нерегулярными отсчетами. Задача аппроксимации рассматривается здесь как определение оптимального набора восстанавливающих фильтров с выбором из них линейно-независимых, которые определяют номера сущест­венных отсчетов сигнала. Благодаря такому способу кодирования удается достичь коэффициентов сжатия порядка 15—20 в зависи­мости от сложности исходных кривых сигнала. Успешно применяют для сжатия ЭКС аппроксимацию сигнала кубическими сплайнами. Разработанный способ построения сглаживающего кубичес­кого, сплайна с адаптивным подбором шага на сетке узлов обес­печивает сокращение объема данных в 3—14 раз. Указанные мето­ды сжатия сигнала с применением специальных функций пред­ставляются перспективными для обработки сигнала в текущем режиме, однако в настоящее время считаются сложными для реализа­ции из-за большого объема вычислений.

Апертурные методы сжатия сигнала. Среди адаптивных методов приближения сигнала наибольший практический интерес предста­вляют апертурные методы, осуществляющие контроль абсолютной ошибки при определении избыточных отсчетов и выборе сущест­венных, т. е. передаваемых ординат. Они нашли широкое примене­ние в задачах оперативной передачи и обработки сигнала из-за высокого быстродействия и простоты реализации.

Принцип их действия заключается в последовательном продви­
жении по дискретным регулярным отсчетам u₀, u₁, u₂, … получен­ным после дискретизации непрерывного сигнала, до некоторого
n-го отсчета, в котором отклонение аппроксимированной ординаты от исходной превышает некоторое значение, задаваемое апер­турой d. Ордината u_n первой вышедшая за пределы коридора ши­риной d, принимается за условную существенную ординату. Кроме этого, вводится понятие существенной ординаты, используемой для передачи, обработки или восстановления сигнала. Выбор сущест­венной ординаты зависит от конкретной реализации алгоритма.

Во всех алгоритмах используется апертура, фиксированная по величине ( , где - максимально допустимое отклонение) и центрированная относительно аппроксимирующей прямой ( ).

Наиболее прост в реализации метод сравнения дискретных отсчетов сигнала ( , , ..., , ...) с фиксированными уровнями θ_k = kd, k = 0, 1, 2, ..., при выбранном шаге квантования по уровню, равном d. Если для j-го участка аппроксимации, включающего п ординат, выполняется условие

(1)

а n-й отсчет условию (1) не удовлетворяет, то j-иучасток за­дается амплитудой и длительностью τ_j в виде

Здесь значения уровней θ_k = kd, k = 0, 1, 2, ..., и соответственно облас­тей нечувствительности к отклонениям сигнала, задаваемым ин­тервалом , устанавливаются заранее исходя из выбран­ного значения d и не зависят от динамических свойств сигнала. Иллюстрация данного метода в графическом виде дана на рис. 13, где сплошной линией показана реализация сигнала, а также ее ступенчатая аппроксимация. Здесь, как и на последующих ри­сунках, кружками отмечены выборки, подлежащие передаче.

Рис. 13. Сжатие сигнала методом сравнения с фиксированными уровнями

Более эффективны адаптивные процедуры апертурного сжатия, использующие плавающую апертуру d, которая на очередном участке аппроксимации устанавливается определенным образом относительно последней выбранной существенной ординаты сиг­нала, и таким образом отслеживается изменение амплитуды сиг­нала. Процедура поиска существенных ординат здесь определяется характером аппроксимации: интерполяцией или экстраполяцией. В качестве аппроксимирующих функций чаще применяют полино­мы нулевой, реже — первой степени.

Для плавающей апертуры выбор существенной ординатыпри поступлении каждого i-го отсчета в последовательности (u₀, u₁, …,u_i)осуществляется в результате сравнения разности опреде­ленных для конкретного алгоритма значений сигнала с аперту­рой d. Это условие для алгоритма экстраполяции нулевого по­рядка (ЭНП) имеет вид

(2)

а при использовании интерполяции нулевого порядка (ИНП) за­дается неравенством

(3)

где

Если для i=п соответствующее условие нарушается, то (п—1)-й отсчет определяет конец текущего j-го участка аппроксимаций, а п-я выборка задает новое положение зоны допустимого отклонения значений сигнала шириной d. Из условий (2) и (3) следует, что положение плавающей апертуры при ЭНП фиксируется относи­тельно начальной ординаты , а при ИНП устанавливается лишь. с приходом (п—1)-го отсчета, вмещая в себя максимальное число избыточных отсчетов (рис. 14). Сжатое представление сигнала на j-м интервале аппроксимации для алгоритма ЭНП задается вели­чина.ми

a для алгоритма ИНП определяется выражениями

Рис. 14. Экстраполяция (а) и интерполяция (б) сигнала алгебраическими полиномами нулевой степени

Апертурная аппроксимация сигнала может быть реализована также путем сравнения отсчетов сигнала с его представлением .алгебраическими полиномами первой степени. Использование более сложных функций затрудняет обработку сигнала в реальном вре­мени и не дает ощутимого выигрыша в коэффициенте сжатия.

В отличие от алгоритма ЭНП при экстраполяции .первого по­рядка (ЭПП) ось апертуры, являющаяся экстраполирующей прямой, располагается по линии, соединяющей первую ординату но­вого участка аппроксимации с предсказанным значением преды­дущей ординаты. Все отсчеты сигнала, попавшие в достроенный таким образом коридор, считаются (избыточными, а первый, вы­шедший за его пределы, начинает следующий участок аппрокси­мации. На выход алгоритма сжатия могут передаваться предска­занное значение последнего отсчета аппроксимирующей прямой и длительность соответствующего участка аппроксимации.

В алгоритме -интерполяции первого порядка (ИПП), в отличие от ЭПП, ось апертуры с приходом каждого следующего отсчета меняет свое положение. Вначале она проходит через первую и третью ординату текущего участка аппроксимации. Если второй отсчет попал в апертуру, то он считается избыточным. С прихо­дом следующего отсчета уравнение аппроксимирующей прямой будет задаваться уже первой и текущей ординатой, и так до тех пор, пока хотя бы одна из промежуточных ординат не выйдет за пределы коридора. Тогда текущая ордината начнет новый участок аппроксимации, а предыдущая вместе с параметром длительнос­ти будет передана на выход алгоритма сжатия.

Графическая интерпретация алгоритмов сжатия ЭПП и ИПП приведена на рис. 15. Абсолютная ошибка восстановления дис­кретного сигнала не превышает величины

Плавающая апертура может задаваться постоянной, постоянной со сдвигом или переменной, что во многом определяет слож­ность и эффективность конкретного алгоритма сжатия .

Рис. 15. Экстраполяция (а) и интерполяция (б) сигнала алгебраическими полиномами первой степени

Из сравнительной оценки эффективности сжатия для ал­горитмов ЭНП, ЭПП, ИПП следует, что при коэффициентах сжатия, не превышающих 10, наиболее эффективным является алгоритм ИПП, а при допустимых уровнях искажений не более 10% - ЭНП.

Рассмотренные алгоритмы сжатия используют однопараметри­ческую адаптацию по интервалу аппроксимации, поскольку пос­ледний автоматически определяется при поиске существенных от­счетов. Дальнейшее повышение эффективности сжатия сигнала мо­жет быть достигнуто за счет использования двухпараметрической адаптации, позволяющей автоматически определять как длитель­ность интервала аппроксимации, так и степень аппроксимирую­щего полинома. При разработке алгоритмов анализа сигнала, осно­ванных на структурных методах, использующих сегментацию сиг­нала, .изменение порядка аппроксимации на отдельных его отрез­ках может 'стать информативным .признаком распознавания эле­ментов сигнала различной крутизны.