Основные тригонометрические формулы
Тождественные преобразования тригонометрических выражений. Тригонометрические функции
Задача нахождения синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла сводится к нахождению значений этих функций в случае, когда . Таблица определяет основные значения , , и для данного промежутка.
Значения тригонометрических функций основных углов
- | |||||
- |
Основные тригонометрические формулы
1. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента:
1.1. 1.2.
1.3. 1.4.
1.5. 1.6.
Пример 1. Найдите значение выражения , если .
Решение. Применяем основное тригонометрическое тождество (1.1):
Ответ: 4,97.
Пример 2. Найдите значение выражения , если , .
Решение. Чтобы найти , используем основное тригонометрическое тождество (1.1) и определяем знак для значений :
, .
Ответ: -4.
2. Формулы сложения:
2.1. 2.2.
2.3. 2.4.
Пример 3. Найдите значение , если и .
1) 2) 3) 4)
Решение. Применяем основное тригонометрическое тождество (1.1). Находим . Выбираем отрицательный знак, так как . Тогда по формуле сложения (2.1) получаем:
.
Ответ: 3).
3. Формулы двойного и тройного аргументов:
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
4. Формулы преобразования суммы (разности) в произведение:
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6. 4.7.
Пример 4. Докажите тождество .
Доказательство.
Используем формулы для синуса (3.1) и косинуса (3.2) двойного угла, а также разности синусов (4.2):
.
5. Формулы преобразования произведений в суммы (разности):
5.1.
5.2.
5.3.
6. Формулы понижения степени:
6.1. 6.2.
Пример 5. Выражение можно преобразовать к виду
1) 2) 3) 4)
Решение. Применяем формулы понижения степени (6.1) и (6.2), а также формулу для синуса двойного угла (3.1):
.
Ответ: 1).
7. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента (универсальная подстановка):
7.1. 7.2. 7.3.
Пример 6. Вычислите , если .
Решение. Вычислим синус двойного угла с помощью универсальной подстановки (8.1): . Тогда .
Ответ: .
Дата добавления: 2020-06-09; просмотров: 232;