Преобразование матрицы билинейной формы при переходе к новому базису. Ранг билинейной формы
Пусть в векторном пространстве V заданы два базиса e = {e1, e2, …, en} и f = {f1, f2, …, fn}. Пусть A(e) = (аij) и A(f) = (bij) – матрицы билинейной формы A в указанных базисах.
Теорема 11.1.Матрицы A(e) и A(f) билинейной формы A(x, y) в базисах {e} и {f} связаны соотношением
A(f) = Ct×A(e)×C, (*),
где C – матрица перехода от базиса {e} к базису {f}, а Ct –транспонированная матрица C.
Следствие. Ранг матрицы A(f) равен рангу матрицы A(e).
Это утверждение следует из равенства (*): так как С – матрица перехода от одного базиса к другому, то матрица С и матрица Ct– невырожденные, поэтому умножение на них матрицы A(e) не меняет ее ранга.
Определение 11.4. Рангом билинейной формы, заданной в конечномерном векторном пространстве V , называется ранг матрицы этой формы в произвольном базисе пространства V.
Определение 11.5. Билинейная форма называется невырожденной, если ее ранг равен размерности пространства V и вырожденной, если ее ранг меньше размерности пространства V.
Квадратичные формы
Пусть A(x, y) – симметрическая билинейная форма, заданная на векторном пространстве V.
Определение 11.6.Квадратичной формой называется числовая функция одного векторного аргумента x, которая получается из билинейной формы A(x, y) при x = y.
Определение 11.7.Симметрическая билинейная форма A(x, y) называется полярной квадратичной форме A(x, x).
Пусть дана билинейная форма A(x, y) = , положим в ней xi = yj, тогда мы получим представление квадратичной формы A(x, x) в конечномерном векторном пространстве V с заданным базисом {e}:
A(x, x) = . (2)
Определение 11.8.Матрица (aij) называется матрицей квадратичной формы A(x, x) в заданном базисе {e}.
При переходе к новому базису матрица квадратичной формы преобразуется по формуле A(f) = Ct×A(e)×C и ранг этой матрицы не меняется при переходе к новому базису.
Определение 11.9. Ранг матрицы квадратичной формы A(x, x) называется рангом квадратичной формы.
Определение 11.10. Квадратичная форма называется невырожденной, если ее ранг равен размерности пространства V и вырожденной, если ее ранг меньше размерности пространства V.
Определение 11.11. Квадратичная форма A(x, x) называется
1. Положительно определенной, если для любого ненулевого вектора x выполняется неравенство A(x, x) > 0.
2. Отрицательно определенной, если для любого ненулевого вектора x выполняется неравенство A(x, x) < 0.
3. Знакопеременной, если существуют такие x и y, что A(x, x) > 0 и A(y, y) < 0.
4. Квазизнакоопределенной, если для всех x, A(x, x) ≥ 0 (или A(x, x) ≤ 0) и имеется вектор x ≠ 0, для которого A(x, x) = 0.
Замечание. Если A(x, y) – билинейная форма, полярная положительно определенной квадратичной форме A(x, x), то A(x, y) удовлетворяет аксиомам скалярного произведения векторов в евклидовом пространстве:
1) A(x, y) = A(y, x) – в силу симметричности A(x, x).
2) A(x + y, z) = A(x, z) + A(y, z) – в силу определения билинейной формы.
3) A(λx, y) = λA(x, y) – в силу определения билинейной формы.
4) A(x, x) ≥ 0 и A(x, x) > 0 при х ≠ 0, т. к. A(x, x) положительно определена.
Вывод. Скалярное произведение в векторных пространствах может быть задано с помощью билинейной формы:
(x, y) = = A(x, y).
Дата добавления: 2022-04-12; просмотров: 177;