Алгоритм нахождения собственных векторов линейного оператора

1. Найти собственные значения линейного оператора каксобственныезначения его матрицы

2. Для каждого из найденных собственных значений l₀ находимсобственные векторы, решая однороднуюсистему линейныхуравнений (*) с основной матрицей M(j) – λ₀E.

3. Множество равно линейной оболочкефундаментального набора решений этой системы за исключением нулевого вектора.

Пример 9.7. Найти собственныевекторылинейного оператора с матрицей M(j) = .

Решение. Находим собственные значения матрицы линейного оператора, для чего решаем уравнение |M(j) – λE| = 0.

= (2–l)(–1)^{3 + 3} = (2 – l)((–l)(4 – l) – (–4)) =

= (2 – l)(l² – 4l + 4) = (2 – l)(l – 2)² = (2 – l)³ = 0 Þ l₁ = l₂ = l₃ = 2.

Итак, получили f(λ) = (2 – l)³ – характеристический многочлен матрицы M(j); (2 – l)³ = 0 – характеристическое уравнение матрицы M(j); l₁ = l₂ = l₃ = 2 – собственные значения матрицы M(j), т. е. это собственные значения линейного оператора j.

Собственное значение у этого линейного оператора только одно, поэтому решаем только одну однороднуюсистему линейныхуравненийс матрицей .

~ ~ .

Выпишемобщее решение этой системы х₁ = (х₂ + 0х₃) и составим фундаментальный набор решений

с₁= (1, 2, 0), с₂= (0, 0, 1).

Ответ. Множество собственных векторов с собственным значениемλ = 2 это множество L = L(с₁, с₂)\{o} = {k₁c₁ + k₂c₂, }.