Уравнения изопроцессов

Изопроцессами называются такие процессы, в которых какое-либо условие или параметр поддерживаются постоянными.

К характерным изопроцессам относятся следующие:

1. Изотермический. Это обратимый процесс, проходящий при постоянной температуре (газ в термостате): Т = const = Т₀. Для него уравнение состояния идеального газа принимает вид:

pV = νRT₀ = const. (4.1)

Это уравнение изотермы. Его график – это симметричная гипербола (рис. 4.1). Для любых двух точек на изотерме p₁V₁ = p₂V₂.

2. Изохорный процесс. Это обратимый процесс, протекающий при постоянном объёме, т. е. в баллоне с жёсткими стенками: V = const = V₀. Для него уравнение состояния pV = νRT примет вид:

= const.

Это уравнение изохоры. На изохоре р₁ /T₁ = р₂ /T₂ (рис. 4.2).

3. Изобарный процесс. Это обратимый процесс, протекающий при постоянном давлении р = р₀ = const. Для него уравнение pV = νRT примет вид:

= const.

Это уравнение изобары. На изобаре V₁ /T₁ = V₂ /T₂ (рис. 4/3).

4. Адиабатный процесс. Это обратимый процесс в газе, протекающий без теплообмена с окружающей средой, т. е. при котором Q = 0. Адиабатный процесс может быть проведён в цилиндре с теплонепроницаемыми стенками, если поршень медленно поднимать или опускать (рис. 4.4). При этом энергообмен с окружающей средой происходит только в форме механической работы.

Получим уравнение адиабатного процесса аналогично трём первым. Для этого запишем первый закон термодинамики:

dQ = pdV + νC_V dT.

Так как у нас dQ = 0, то

νC_V d T= −pdV.

Подставляя сюда р = νRT/V, получим:

C_V dT = − , или .

Интегрирование даёт:

,

или:

= ln(const),

или:

= const.

А так как R = C_p − C_V, то, обозначая

С_р /С_V = γ,

получаем:

TV^(γ−1) = const. (4.2)

Это и есть уравнение адиабаты в координатах (V, Т).

Замечание 1. Величина

γ = С_р /С_V

называется показателем адиабаты.

Для получения уравнения адиабаты в координатах (р, V) подставим в (4.2) T = pV/(νR) из уравнения состояния. Это даёт:

const,

или:

pV ^γ = соnst. (4.3)

Замечание 2. Уравнение (4.3) похоже на уравнение изотермы (4.1), только у адиабаты график р(V) идёт круче, так как γ = С_р /С_V > 1 (рис. 4.5).

И, наконец, получим уравнение адиабаты в координатах (р, Т). Для этого подставим в (4.2) V = νRT/p из уравнения состояния. Это даёт:

,

или:

Т ^γ р^1−γ = const,

или:

. (4.4)

Замечание 3. Так как С_V = , С_р = С_V + R = , то

.

Для одноатомных газов (i = 3) γ = 5/3,

для двухатомных газов (i = 5) γ = 7/5 = 1,4,

для многоатомных газов (i = 6) γ = 4/3.