Законы постоянного тока.

Краткая теория по теме «Электростатика и электромагнетизм».

Электростатика

Закон Кулона. Сила взаимодействия между двумя точечными зарядами q₁ и q₂ , находящимися на расстоянии r друг от друга:

( , ε₀ – электрическая постоянная).

Основными характеристиками электростатиче­ского поля являются напряженность и потенциал .

Напряженность в данной точке поля равна по величине силе, действующей со стороны поля на пробный точечный единичный положительный заряд , помещенный в данную точку поля, а по направлению совпадает с этой силой:

Напряжённость электростатического поля, созданного точечным зарядом q на расстоянии r от этого заряда: .

Потенциал электростатического поля, созданного точечным зарядом q на расстоянии r от этого заряда: .

Понятие потенциала для электростатического поля следует из определения работы сил электростатического поля по перемещению пробного точечного положительного заряда из одной точки в другую, а именно разность потенциалов ( ) для точек (1) и (2) равна отношению работы по перемещению заряда из точки (1) в точку (2) к величине этого заряда:

.

Напряженность и потенциал электростатического поля связаны между собой. Эта связь выражается следующим образом:

, где + + .

Законы постоянного тока.

Сила электрического тока в проводнике: , где dq – величина заряда, протекающего через поперечное сечение проводника за время dt.

( если , то )

Величина заряда, протекающего через поперечное сечение проводника за время dt : ,а за промежуток времени t от t₁ до t₂:

Электромагнетизм

Основной характеристикой магнитного поля является индукция . Величина и направление вектора индукции магнитного поля, созданного элементом проводника с током , определяются с помощью закона Био-Савара-Лапласа

,

где – индукция магнитного поля в точке, заданной радиус-вектором , проведенным от элемента проводника до этой точки;

– векторное произведение векторов и ;

– магнитная постоянная, – магнитная проницаемость среды.

В скалярном виде закон Био-Савара-Лапласа:

, где – угол между векторами и .

Если имеется несколько источников магнитного поля, то, согласно принципу суперпозициимагнитных полей, индукция результирующего магнитного поля равна векторной сумме индукций всех отдельных магнитных полей, т.е.

.

Модуль вектора поля, созданного прямолинейным бесконечным проводником с током силой I, в произвольной точке М на расстоянии r от проводника:

.

Сила Лоренца. На заряд q , движущейся со скоростью в магнитном поле с индукцией действует сила ( – сила Лоренца).

Модуль вектора : F_л = q v B sin α , где α – угол между векторами и .

Направление вектора может быть определено по правилу левой руки для движущихся положительных зарядов и по правилу правой руки для движущихся отрицательных зарядов (если силовые линии магнитного поля входят в ладонь, а четыре вытянутых пальца располагаются по скорости движения частицы, то отведённый большой палец укажет направление силы Лоренца).

Магнитный поток. Элементарный магнитный поток dΦ вектора индукции через элементарную площадку dS :

,

где – вектор, модуль которого равен площади площадки dS , а направление совпадает с направлением вектора нормали к площадке dS .

Магнитный поток Φ вектора магнитной индукции через площадку S:

.

Явление электромагнитной индукции – это явление возникновения ЭДС (электродвижущей силы) ε_i в проводящем контуре при изменении магнитного потока Φ, пронизывающего данный контур.

Абсолютная величина ЭДС электромагнитной индукции ε_i в проводящем контуре прямо пропорциональна величине скорости изменения магнитного потока Φ, пронизывающего данный контур:

(закон Фарадея с учётом правила Ленца).

Знак " − " в приведенной формуле отражает правило Ленца: индукционный ток в проводящей рамке имеет такое направление, что создаваемое этим током магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, вызывающему индукционный ток в рамке.

Примеры решения задач по теме «Электростатика и электромагнетизм»

(Номера задач в скобках соответствуют сборнику задач по курсу физики Трофимовой Т.И.)

Задача № 1 (3.10.) Расстояние l между зарядами Q =± 2 нКл равно 20 см. Определите напряжённость поля, созданного этими зарядами в точке, находящейся на расстоянии r₁ = 15 см от первого и r₂ = 10 см от второго заряда.

Дано: l = 20 см (0,2 м); Q₁ = 2 нКл ( 2· 10^-9 Кл); Q₂ = – 2 нКл (– 2 · 10^-9 Кл); r₁ = 15 см (0,15 м); r₂ = 10 см (0,1 м).

Определить Е.

Решение. Согласно принципу суперпозиции, (направления векторов показаны на рисунке). Напряжённости электрического поля, создаваемые в вакууме зарядами Q₁ и Q₂,

, . (1)

Модуль вектора можно определить по теореме косинусов:

, (2)

где

.

Подставив (1) в формулу (2), найдём искомую напряжённость в точке А:

.

Ответ: 2,14 кВ/м.

Задача № 2 (3.17.) На металлической сфере радиусом 15 см находится заряд Q = 2 нКл. Определите напряжённость электростатического поля 1) на расстоянии r₁ = 10 см от центра сферы; 2) на поверхности сферы; 3) на расстоянии r₂ = 20 см от центра сферы. Постройте график зависимости E(r).

Дано: R =15см (0,15 м); Q =2 нКл (2 ·10^-9 Кл); r₁ =10 см (0,1 м); r₂ =20 см (0,2 м).

Найти: Е₁ , Е₂, Е₃ ; E(r).

Решение.

Согласно теореме Гаусса поток вектора напряжённости электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключённых внутри этой поверхности зарядов, деленной на :

,

где Q – общий заряд, охватываемый произвольной поверхностью S.

Благодаря равномерному распределению заряда по поверхности сферы, поле, создаваемое ею, будет центрально-симметричным, т.е. направление вектора в любой точке проходит через центр сферы (рис.), а напряжённость есть функция расстояния r от центра сферы. При такой конфигурации поля в качестве произвольной замкнутой поверхности удобно выбрать сферу, концентрическую с заряженной сферой. Из соображений симметрии для всех точек такой поверхности .

1) r₁ < R. В данном случае замкнутая поверхность радиусом r₁ < R не охватывает зарядов (рис.), поэтому внутри равномерно заряженной сферической поверхности электростатическое поле отсутствует: Е₁ = 0.

2) r = R. В качестве замкнутой поверхности построим сферу радиусом r = R, имеющую общий центр с заряженной сферой. В этом случае внутрь поверхности попадает весь заряд, создающий рассматриваемое поле, и по теореме Гаусса:

,

где Q – общий заряд сферы, а – площадь поверхности сферы. Тогда искомая напряжённость

.

3) r₂ >R. В качестве замкнутой поверхности построим сферу радиусом r₂ >R (рис.), имеющую общий центр с заряженной сферой. В данном случае по теореме Гаусса,

.

Тогда искомая напряжённость

. (1)

График зависимости E(r) представлен на рисунке.

В области r < R напряженность Е = 0. В области r >R напряжённость определяется формулой (1), изменяясь по закону , а в точке r = R функция E(r) терпит разрыв.

Ответ: 1) Е₁ = 0; 2) Е₂ = 800 В/м; 3) Е₃ = 450 в/м.

Задача № 3 (3.75.) Сила тока в проводнике равномерно нарастает от I₀ = 0 до I = 2 А в течение времени t = 5 с. Определите заряд, прошедший в проводнике.

Дано: I₀ = 0; I = 2 А; t = 5 с

Определить Q.

Решение.

Из определения силы тока следует, что электрический заряд, прошедший по проводнику, за бесконечно малый промежуток времени dt

.

По условию задачи сила тока равномерно нарастает, т. е. , где коэффициент пропорциональности . Тогда

. (1)

Проинтегрировав выражение (1) и подставив значение k, найдём искомый заряд:

.

Ответ: 5 Кл.

Задача № 4 (3.120.) Определите индукцию магнитного поля в центре проволочной квадратной рамки со стороной а =15 см, если по рамке течёт ток I = 5 А.

Дано: а = 15 см (0,15 м); I = 5 А.

Определить В.

Решение. Согласно принципу суперпозиции вектор магнитной индукции в центре квадратной рамки , где – вектор индукции магнитного поля, создаваемого проводником, являющимся одной из сторон квадрата. Очевидно, (каждая из сторон создаёт в центре квадратной рамки магнитное поле одного направления). По закону Био-Савара-Лапласа

.

Очевидно, (рис.) и , поэтому

,

где ˚.

Ответ: 37,7 мкТл.

Задача № 5 (3.143.) Протон, ускоренный разностью потенциалов U = 0,5 кВ, влетая в однородное магнитное поле с магнитной индукцией В = 2 мТл, движется по окружности. Определите радиус этой окружности.

Дано: m = 1,67· 10^--27 кг; e = 1,6· 10^-19 Кл; U = 0,5 кВ (500 В);

В = 2 мТл (2·10^-3 Тл).

ОпределитьR.

Решение. При движении протона в магнитном поле со скоростью V на него действует сила Лоренца: ,

где α – угол между векторами и (в нашем случае α = 90˚).

Тогда . (1)

При прохождении ускоряющей разности потенциалов U работа сил электростатического поля идёт на сообщение протону кинетической энергии: ,

откуда . (2)

Из механики известно, что постоянная сила, перпендикулярная скорости (таковой и является сила Лоренца (1)), вызывает движение по окружности. Она сообщает протону нормальное ускорение , где R – радиус окружности. По второму закону Ньютона , где .

Тогда, ,

С учётом (2) искомый радиус окружности:

. (3)

Ответ: 16,1 см.

Задача № 6 (3.179.) В однородное магнитное поле с индукцией В = 0,3 Тл помещена прямоугольная рамка с подвижной стороной, длина которой l = 15 см. Определите ЭДС индукции, возникающей в рамке, если её подвижная сторона перемещается перпендикулярно линиям магнитной индукции со скоростью V = 10 м/с.

Дано: В = 0,3 Тл; l = 15 см (0,15 м); V = 10 м/с.

Определить .

Решение. При перемещении подвижной стороны рамки в направлении, указанном на рисунке, поток Ф вектора магнитной индукции возрастает, что согласно закону Фарадея приводит к возникновению ЭДС индукции:

. (1)

Поток вектора магнитной индукции, сцепленный с рамкой:

. (2)

Подставив выражение (2) в формулу (1) и учитывая, что величины B и l постоянные, получим:

.

Ответ: 0,45 В.