Определение передаточных функций через изображения Лапласа
Преобразованием Лапласа или изображением переменной x(t), такой, что и называется комплекснозначная функция , определяемая интегралом
(2.16)
где - комплексная переменная, вещественная часть которой σ представляет собой так называемую абсциссу абсолютной сходимости. Для большинства функций, с которыми приходится иметь дело в управлении, абсцисса абсолютной сходимости равна нулю.
Функцию времени x(t) по которой найдено изображение называют оригиналом.
Отыскание изображения функции x(t) с помощью интеграла (2.16) называют прямым преобразованием Лапласа и условно обозначают его выражением
(2.17)
Умножим уравнение (2.8) на функцию и проинтегрируем его по времени от нуля до бесконечности.
Преобразование Лапласа обладает свойством линейности:
(2.18)
поэтому в левой и правой частях уравнения (2.8) будут суммы интегралов:
(2.19)
Согласно формуле (2.16) обозначим:
(2.20)
Найдем изображение первой производной.
(2.21)
Применим к (2.21) правило интегрирования по частям. Обозначим: Тогда (2.22)
Применяя такой же метод для нахождения изображения второй производной, получим формулу:
(2.23)
Для изображения k - ой производной на основании формул (2.22) и (2.23) нетрудно найти выражение
(2.24)
Полагая все начальные условия нулевыми, запишем уравнение (2.19) в виде:
(2.25)
Дата добавления: 2022-05-27; просмотров: 87;