Линеаризация уравнений
Пусть динамическое уравнение некоторой САУ (или ее отдельного звена) имеет произвольный нелинейный вид
, (2.1)
где y – выходная величина; u – входная величина; f – внешнее возмущение; .
Допустим, что установившийся процесс в системе имеет место при некоторых постоянных значениях переменных u = u*, f = f*, y = y*. Тогда уравнение установившегося состояния согласно (2.1) будет
(2.2)
В возмущенном движении переменные, являющиеся аргументами функций F и j уравнения (2.1), будут отличаться от своих установившихся значений:
(2.3)
В основе линеаризации нелинейных уравнений лежит предположение о том, что в исследуемом динамическом процессе переменные изменяются так, что их отклонения от установившихся значений, т.е. величины , остаются все время достаточно малыми. Это допущение является справедливым в силу принципа работы замкнутой САУ.
Разложим функции F и j в уравнении (2.1) в ряд Тейлора по степеням указанных выше малых отклонений, рассматривая все производные тоже как самостоятельные переменные. Тогда уравнение (2.1) примет вид:
(2.4)
где , например, означает частную производную , вычисленную при значениях переменных, соответствующих установившемуся режиму; R1 – остаток ряда Тейлора для функции F, содержащий члены выше 1-го порядка малости; R2 – остаток ряда Тейлора для функции j, содержащий члены выше 1-го порядка малости.
Вычтя из уравнения (2.4) уравнение установившегося состояния (2.2) и отбросив члены высшего порядка малости R1 и R2 , получим искомое линеаризованное уравнение динамики исследуемой системы в виде
(2.5)
Уравнение (2.5) называется дифференциальным уравнением системы (или ее отдельного звена) в отклонениях. Это уравнение записывают так, чтобы выходная величина и ее производные находились в левой части уравнения, а входная величина и все остальные члены – в правой части. Для коэффициентов уравнения (2.5) применим более простые обозначения
(2.6)
где n, m, r – порядки старших производных выходной величины y, входной величины u и возмущения f соответственно. С учетом обозначений (2.6) уравнение (2.5) примет вид:
+ + + = + + + + . (2.7)
Часто для упрощения записи знак вариации в уравнении (2.7) опускают, не забывая при этом, что все переменные есть отклонения исходных величин от их установившихся значений. В общем случае уравнение (2.7) может быть записано в виде:
+ +…+ + = + +…+ + + + + +…+ + . (2.8)
Для реальных систем обычно выполняется соотношение n>m, n>r.
Дата добавления: 2022-05-27; просмотров: 99;