Производная сложной функции

Определение 1. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке представимо в виде

, (2.1)

где и не зависит от , а при .

Теорема 1. Функция , дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке конечную производную .

Доказательство. Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке , т.е. имеет место равенство (2.1). Разделив его на , получим . Переходя к пределу при , видим, что , т.е. предел правой части существует и равен А, значит, существует и предел левой части, т.е. , причем .

Достаточность. Пусть существует . Тогда по теореме 1 § 16 главы 1 , где – бесконечно малая функция при . Отсюда , т.е. функция дифференцируема в точке .

Теорема доказана.

Замечание. Из теоремы 1 следует, что понятия функции, имеющей конечную производную, и дифференцируемой функции равносильны. Поэтому дифференцируемой можно назвать функцию, имеющую конечную производную, что и делают авторы некоторых учебников.

Как связаны между собой свойства непрерывности и дифференцируемости функций? Имеет место

Теорема 2.Если функция дифференцируема в точке , то она в этой точке непрерывна.

Доказательство. Поскольку в точке , имеем , что и означает непрерывность функции в точке .

Теорема доказана.

Обратное неверно, то есть существуют непрерывные функции, которые не дифференцируемы.

Пример 1. Покажем, что функция непрерывна, но не дифференцируема в точке .

Решение. Найдем приращение функции в точке , соответствующее приращению аргумента. Имеем . Поэтому , то есть функция непрерывна в точке . С другой стороны, , , то есть односторонние производные в точке не равны, следовательно, данная функция в этой точке не дифференцируема.

В математическом анализе имеются примеры функций, которые в каждой точке числовой прямой непрерывны, но не дифференцируемы. Они имеют сложную конструкцию.

Теорема 3. Пусть функция имеет в точке производную , функция имеет в соответствующей точке производную . Тогда сложная функция имеет в точке производную

или, короче, .

Доказательство. Дадим значению приращение . Тогда получим соответствующее приращение функции и приращение функции . В силу теоремы 1 имеем

, где при .

Отсюда

.

Заметим, что если , то и по теореме 2, поэтому и . Следовательно, .

Поскольку существует предел правой части равенства, то существует и предел левой части и

.

Теорема доказана.

Замечание. Теорема 3 доказана для случая, когда сложная функция имеет одну промежуточную переменную . Если промежуточных переменных несколько, то производная вычисляется аналогично. Например, если , , , то .