Выражение смешанного произведения через координаты векторов

Теорема:Если векторы , , заданы своими координатами ={Х₁; У₁; Z₁ } и ={Х₂ ;У₂; Z₂ }, ={Х₃; У₃; Z₃}, то смешанное произведение · · определяется формулой

· · = =Х ₁ +У₁ +Z₁ .

Доказательство: Имеем: · · = · ( ´ ) . По теореме о выражении векторного произведения через координаты векторов ´ = ; ; .

Умножая скалярно вектор ={Х₁ ;У₁; Z₁ } на вектор ´ и используя теорему о выражении скалярного произведения через координаты получаем

· · = Х₁ + У₁ + Z₁ . g

Пример.В пространстве даны четыре точки: А(1; 1; 1), В(4; 4; 4), С (3; 5 ; 5 ), D(2; 4; 7). Найти объем пирамиды, с вершинами в данных точках.

Решение. Как известно из элементарной геометрии, объем тетраэдра АВСD равен одной шестой объема параллелепипеда, построеного на векторах , , ; отсюда из теоремы о смешанном произведении заключаем, что объем тетраэдра равен абсолютной величины смешанного произведния · · . Найдем это смешанное произведение. Прежде всего, определим координаты векторов ; ; . Для этого из координат конца вектора вычесть координаты начала: = {3; 3; 3}, ={2; 4; 4}, = {1; 3; 6}. Используя теорему о смешанном произведении, получаем · · = 3 + 3 + 3 = 3 · 12 – 3 · 8 + 3 · 2 = 18. Отсюда V = · 18 = 3 куб. ед.

Аксиоматические построения и система аксиом