Метод простой итерации

Применим принцип сжимающих отображений для уточнения значения корня уравнения. Для этого заменим уравнение (1) равносильным уравнением:

х = φ(х) (9)

Сделать это можно множеством способов. Простейший — добавить х к левой и правой частям уравнения (1).

Пусть х^* — корень уравнения (9), а х₀ — полученное каким - либо способом на этапе отделения корней грубое приближение к корню х^*. Подставляя х₀ в правую часть уравнения (9), получим некоторое число х₁ = φ(х₀). Проделаем то же самое с х₁, получим х₂ = φ(х₁) и т. д. Последовательно применяя рекуррентное соотношение х_n = φ(х_n-1) для n = 1, 2,…, образуем итерационную последовательность, подобную последовательности (6):

x₀, x₁ = φ(x₀), x₂ = φ (x₁), … x_n = φ(x_n-1), … (10)

Построенная итерационная последовательность приближений может быть как сходящейся, так и расходящейся. Как следует из принципа сжимающих отображений, условием сходимости итерационной последовательности является то, что функция φ(х) осуществляет сжимающее отображение в окрестности корня.

Если существует такое число q: 0 < q < 1, что для любых выполняется неравенство:

, (11)

где , (12)

то функция φ(x) является сжимающей на [a; b].

Условия (11), (12) являются достаточными, но не необходимыми для сходимости итерационной последовательности (10). Это означает, что итерационная последовательность может оказаться сходящейся и при невыполнении этого условия.