Метрические пространства и принцип сжимающих отображений

Метод итераций для уточнения корней

Рассмотрим самый мощный класс методов уточнения корней уравнений. Его достоинство состоит в том, что основная идея рассматриваемых ниже методов является универсальной при приближенном решении уравнений многих классов.

Так называемые итерационные методы уточнения корней уравнений основаны на математической теории, которую необходимо предварительно рассмотреть.

Метрические пространства и принцип сжимающих отображений

Способ измерения расстояния ρ(х, у) между элементами х и у некоторого множества Х (произвольной природы) называется метрикой. Множество с введенной в нем метрикой ρ становится метрическим пространством, если для любых элементов:

1) ρ(х, у) ≥ 0;

2) ρ(х, у) = 0 тогда и только тогда, когда х совпадает с у;

З) ρ(х, у) = ρ(у, х);

4) ρ(х, у) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, у).

Пусть х(х₁, х_{2, … ,}х_n) и y(y_1,y₂, …, y_n) – две точки множества Х.

Расстояние между точками ρ(х, у) чаще всего задается тремя метриками:

1) ρ₁(х, у) = (1)

2) ρ₂(х, у) = (2)

3) ρ₃(х, у) = (3)

Пусть F - отображение, действующее в метрическом пространстве Е с метрикой ρ; х и у - точки пространства Е, а Fх, Fу - образы этих точек.

Отображение F пространства Е в себя называется сжимающим отображением, если существует такое число q: 0 < q < 1, что для любых двух точек х, у Е выполняется неравенство:

ρ(х, у) ≤ q·ρ(x, y). (4)

Точка х называется неподвижной точкой отображения F, если отображение переводит ее саму в себя:

Fх = х (5)

Важнейшее значение в теории решения уравнений имеет следующая теорема (Принцип сжимающих отображений):

Если F — сжимающее отображение, определенное в полном метрическом пространстве, то для него существует единственная неподвижная точка ξ, такая, которая переводится отображением в себя: ξ = Fξ. Эта точка является пределом последовательности

x⁽⁰⁾, x⁽¹⁾ = Fx⁽⁰⁾, x₂ = Fx⁽¹⁾, … , x⁽ⁿ⁺¹⁾ = Fx⁽ⁿ⁾, … (6)

с любым начальным членом х⁽⁰⁾.

Последовательность (6) называют итерационной последовательностью. Итерационная последовательность, образуемая сжимающим отображением, является сходящейся.

В процессе доказательства этой теоремы получается и оценка расстояния между неподвижной точкой отображения и очередным приближением х⁽^k⁾:

(7)