Метод уравнений Кирхгофа

Сущность этого метода: составление системы уравнений в соответствии с первым и вторым законами Кирхгофа и решение этой системы относительно неизвестных токов.

Если электрическая цепь содержит в ветвей, то в общем случае необходимо определить в токов, т. е. токи в каждой из ветвей. Следовательно общее число уравнений по первому и второму законам Кирхгофа должны быть равно в. При числе узлов у число независимых уравнений по первому закону Кирхгофа будет у-1, следовательно остальные n уравнений должны быть составлены по второму закону Кирхгофа:

n = в – (у – 1).

Общее число уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа, равно числу ветвей, т. е. числу неизвестных токов; это позволяет найти токи во всех ветвях электрической цепи.

Контуры необходимо выбирать так, что бы в систему составляемых уравнений вошли все ветви схемы, а в каждый из контуров наименьшее число ветвей.

Пример 4. В цепи, изображенной на рис.., а даны ее элементы: Е₁=50 В; Е₂=10 В; r₁=0,4 Ом; r₂=1,0 Ом; R₁=3 Ом; R₂=R₃=2 Ом. Определить ток в ветвях.

(R₁+r₁)I₁ – R₃I₃ =E₁ ;

- (R₂+r₂)I₂ + R₃I₃= - E₂

Решение. В схеме у=2, в=3; следовательно, по первому закону Кирхгофа надо составить (у – 1) уравнений, т. е. одно уравнение, а по второму – два уравнения: n = в – (у – 1) = 2.

Обозначим стрелками токи в ветвях, выберем два независимых контура и укажем стрелками направления их обхода (например, по часовой стрелке); составим одно уравнение по первому закону Кирхгофа для первого узла: I₁+I₂+I₃=0 и два уравнение по второму закону Кирхгофа для выбранных независимых контуров:

(R₁+r₁)I₁ – R₃I₃ =E₁ ;

- (R₂+r₂)I₂ + R₃I₃= - E₂

Перепишем эти уравнения с учетом исходных данных:

I₁+I₂+I₃=0

3,4I₁ - 2I₃=50

-3I₂+2I₃=-10

и решим их, получим: I₁=10 А; I₂=-2 А; I₃=-8 А. Действительные направления I₁ совпадает, а I₂ и I₃ противоположны их выбранным положительным направлениям.

Расчет цепей методом уравнений Кирхгофа целесообразно производить в следующем порядке:

- определить для заданной цепи числа у, в и n=в – (у – 1);

- обозначить на схеме токи в ветвях, назначив их положительные направления;

- выбрать независимые контуры и задаться направлениями их обхода;

- составить (у – 1) уравнений по первому и n уравнений по второму законам Кирхгофа; при обходе контура, ЭДС Е_k и содержащиеся в нем падения напряжений I_sR_s на его элементах R_s считаются положительными, если направления Е_k и I_s совпадают с выбранным направлением обхода контура;

- решить полученную систему уравнений относительно независимых токов; если некоторые токи получаются отрицательными, то это означает, что их действительные направления противоположны выбранным.

Проверку правильности расчета токов можно произвести по балансу мощностей или по выполнению законов Кирхгофа для любого узла и контура цепи.