Прямая, обратная и противоположная теоремы.
Рассмотрим четыре теоремы:
, (1) , (2) | , (3) . (4) |
Пара теорем, у которых условие одной является заключением второй, а условие второй является заключением первой, называются взаимно обратными друг другу.
Так, теоремы (1)и (2), а также (3) и (4)- взаимно обратные теоремы. При этом, если одну из них называют прямой теоремой, то вторая называется обратной.
Пара теорем, у которых условие и заключение одной являются отрицанием соответственно условия и заключения другой, называются взаимно противоположными.
Так, теоремы (1) и (3), а также (2) и (4) являются взаимно противоположными теоремами.
Например, для теоремы “Если в четырехугольнике диагонали равны, то четырехугольник является прямоугольником ” (1) обратной является теорема “Если четырехугольник является прямоугольником, то его диагонали равны” (2). Для теоремы (1) противоположной является теорема “Если в четырехугольнике диагонали не равны, то четырехугольник не является прямоугольником ” (3), а для теоремы (2) противоположной является теорема “Если четырехугольник не является прямоугольником, то его диагонали не равны ” (4).
В рассмотренном примере теоремы (1) и (4) являются одновременно ложными, а теоремы (2) и (3) одновременно истинными. Контрпримером к теореме (1) является равнобочная трапеция.
Ясно, что прямая и обратная теоремы , вообще говоря, не равносильны, т. е. одна из них может быть истинной, а другая – ложной. Однако легко показать, что теоремы (1) и (4), а также (2) и (3) всегда равносильны.
Действительно: .
Из этих равносильностей следует, что, если доказана теорема (1), то доказана и теорема (4), а если доказана теорема (2), то доказана и теорема (3).
Дата добавления: 2022-05-27; просмотров: 249;