ПРОЕКТИРОВАНИЕ КОМБИНАЦИОННЫХ СХЕМ
Законы логического мышления исследовались английским математиком Дж. Булем, который разработал метод проверки истинности определенных высказываний. Понятия истинности и ложности берут свое начало в исчислении высказываний, приводящем к современным методам проектирования с использованием таблиц истинности.
В Булевой алгебре определяется ряд операций, достаточно удобных для использования при логическом конструировании. Логику проектирования удобно представлять математическим аппаратом алгебры переключательных схем.
Булева алгебра
Булева алгебра основана Джорджем Булем (1815-1864 гг) и является с середины 30-х годов прошлого столетия основой для анализа цифровых логических схем. Булевой алгеброй называется непустое множество A с двумя бинарными операциями логического умножения (конъюнкция) и логического сложения (дизъюнкция), унарной операцией (отрицание) и двумя выделенными элементами: 0 (Ложь) и 1 (Истина). Основные равносильности Булевой алгебры представлены в табл.2.1. Использование следствий законов алгебры логики позволяет сократить (минимизировать) логические выражения.
Формальное описание работы схемы в виде Булева выражения позволяет построить логическую схему устройства, реализующего заданный алгоритм. Однако сложность минимизации, отсутствие наглядности и возможности контроля всех возможных вариантов реализации алгоритма привело к использованию таблиц истинности и карт Карно для формального описания работы комбинационных логических схем.
Таблица 2.1
Сводная таблица равносильностей Булевой алгебры
коммутативность, переместительность | |
ассоциативность, сочетательность | |
конъюнкция относительно дизъюнкции дизъюнкция относительно конъюнкции | дистрибутивность, распределительность |
комплементность, дополнительность (свойства отрицаний) | |
законы де Моргана | |
законы поглощения (склеивания) | |
Блейка-Порецкого | |
идемпотентность | |
инволютивность отрицания, закон снятия двойного отрицания | |
свойства констант | |
дополнение 0 есть 1 дополнение 1 есть 0 | |
склеивание |
2.2 Использование таблиц истинности
для описания работы комбинационных логических схем
Таблицы истинности могут быть однозначно сопоставлены вербальным алгоритмам и приводившимся выше диаграммам. Если принадлежность произвольной точки прямоугольника множеству Y (или Z) считать «истиной» (с обозначением Т или 1), а противоположный случай – «ложью» (F или 0), то таблица истинности для операции И (конъюнкция) может быть изображена в виде табл. 2.2. Таблица истинности для операции ИЛИ (дизъюнкция) приведена в табл. 2.3.
Таблица 2.2 Таблица 2.3
Таблица истинности для операции И Таблица истинности для операции ИЛИ
Y | Z | Ù | Y | Z | Ú | |
В этих таблицах представлены четыре различные комбинации случаев принадлежности (или непринадлежности) точки множествам Y и Z.
Таблица истинности – наиболее полный формальный метод описания того, как работает логическая схема. Однако, описание работы схем с помощью таблиц истинности не только громоздко, но и, являясь первой ступенью синтеза любого цифрового устройства, не содержит описания его работы в минимальной форме, необходимой для облегчения анализа возможностей интегральных схем для конкретных приложений.
Для дальнейшего анализа и синтеза логической схемы необходимо преобразовать информацию в форме таблицы истинности в Булево выражение. Для записи в дизъюнктивно нормальной форме выделяются те комбинации переменных строки, которые дают логическую «1» на выходе. Аналогичным образом можно построить таблицу истинности по Булеву выражению.
Таблица истинности и Булево выражение по разному описывают принцип действия одной и той же логической схемы. Например, если имеется три датчика А, В и С, а включение электродвигателя или другого исполнительного устройства происходит при срабатывании датчиков В и С или датчика А, то формальное описание данного вербального условия работы можно представить в виде таблицы истинности для трех переменных (рис. 2.1), которому соответствует Булево выражение в нормально-дизъюнктивной форме
Рис.2.1. Таблица истинности для Булева выражения
Необходимо учитывать все возможные комбинации входов, которые дают логическую единицу в таблице истинности. Например, минимизированное Булево выражение дает не две, а три логических единицы для выходной функции Y в таблице истинности рис. 2.2.
Рис.2.2. Таблица истинности для Булева выражения
В другом примере требуется обеспечить управление исполнительным элементом Y так, чтобы он срабатывал при наличии сигналов от любых одного или двух из трех датчиков А, В, С. В данном случае формализация словесного алгоритма в виде таблицы истинности представлена на рис.2.3.
Рис.2.3. Формальное описание работы схемы по вербальному описанию
в виде таблицы истинности
Формальное описание в виде исходного Булева выражения в нормально-дизъюнктивной форме . Логическая схема для реализации вербального алгоритма в соответствии с исходным Булевым выражением будет иметь вид (рис.2.4).
Рис.2.4. Исходная логическая схема для реализации вербального алгоритма
Используя равносильности Булевой алгебры можно минимизировать исходную функцию Yисх ,
Логическая схема для реализации вербального алгоритма в соответствии с минимизированным Булевым выражением будет иметь вид (рис.2.5). Минимизированная схема работает аналогично исходной, но при этом дешевле и имеет более высокую надежность.
Рис.2.5. Минимизированная логическая схема для реализации вербального алгоритма
Если пронумеровать строки таблицы истинности в соответствии с десятичным значением соответствующих двоичных кодов, то можно записать условие работы схемы в виде набора номеров строк, где выходная функция принимает значение 1. Например, функция, записанная в виде Y=∑ (3, 5, 6, 9, 10, 12), может быть представлена соответствующей таблицей истинности (рис.2.6).
Рис.2.6. Таблица истинности
Формальное описание в виде исходного Булева выражения в нормально-дизъюнктивной форме будет иметь вид:
.
Полученное Булево выражение может быть минимизировано с использованием свойств и аксиом Булевой алгебры и реализовано в виде логической схемы.
Дата добавления: 2021-05-28; просмотров: 242;