Архимедовская расположенность полукольца натуральных чисел.

Теорема 11. Полукольцо натуральных чисел является архимедовски расположенным, т.е. выполняются следующее условие (аксиома Архимеда): для любых натуральных чисел a,b a<nb для некоторого натурального n.

Доказательство.

.

что и требовалось доказать.

Теорема 12. Полукольцо натуральных чисел не является всюду плотным.

Доказательство.

Для доказательства этого утверждения достаточно показать, что натуральные числа и являются соседними. Предположим обратное: пусть такое, что . Тогда . Последнее противоречит условию . Следовательно, предположение неверно.

что и требовалось доказать.

Лекции 3-4.

Построение множества целых чисел.

Рассмотрим множество (декартов квадрат множества натуральных чисел).

На множестве введем отношение ~ по следующему правилу:

.

Теорема 1. Отношение ~ на множестве есть отношение эквивалентности (рефлексивно, симметрично, транзитивно).

Доказательство.

Отношение ~ рефлексивно (?)

.

Отношение ~ симметрично (?)

.

Отношение ~ транзитивно (?)

.

что и требовалось доказать.

Поскольку отношение ~ является отношением эквивалентности, имеют место классы эквивалентности:

.

Определение. Целыми числами назовем элементы фактормножества .