Нейтральная ось композитного стержня.
Будем считать, что при том нейтральная ось стержня перейдет в некое другое положение. Согласно предположению Бернулли сохраним гипотезу плоских сечений, согласно которой изогнутое сечение не сжимается в поперечном направлении и остается плоским и перпендикулярным нейтральной оси, которая расположена на расстоянии от нижней кромки (Рис. 18.1)
Продольные перемещения в любом волокне слоистого стержня
, (18.1)
где осевое перемещение точек нейтральной оси, - прогиб сечения, а (y) - расстояние описываемого тонкого волокна от нейтральной оси (Рис.18.1). Далее обозначения упараметров координаты «y» за очевидностью опускаем.
Относительная деформация в продольном направлении
(18.2)
порождает нормальные напряжения
. (18.3)
Для поперечного сечения, находящегося в сжато-изогнутом состоянии, нормальные напряжения приводятся к осевой силе
(18.4)
и к изгибающему моменту
, (18.5)
где
, , . (18.6)
Теперь найдем положение нейтральной оси из условия, что ось не изгибается,
то есть, продольные усилия в сечении связываются только с деформацией нейтральной оси , а изгибающий момент - только с кривизной оси . Положим в (18.4) и учтем, что . Получим
, (18.7)
где обозначено
(18.8)
Теперь из (18.7) получаем положение нейтральной оси
(18.9)
Теперь соотношения (18. 4), (18. 5) принимают вид
, , (18.10)
где с учетом (18. 9) обозначено
,
(18.10)
Из (18.3), (18.10) получаем такое окончательное выражение для напряжений
(18.11)
Здесь B и D, аналогично теории изотропных стержней, обозначают жесткости на растяжение-сжатие и изгиб. Они, так же как координата нейтральной оси и изгибная жесткость стержня, вычисляются через параметры сечения.
Для изотропного стержня с b=const из материала с модулем E имеем
, , , , .
Слоистый стержень.
Рассмотрим общий случай слоистого стержня (Рис18.2)
Здесь n – количество слоев,
, - модуль и толщина i-гослоя,
- расстояние от нижней кромки сечения до
верхней кромки i-гослоя, при этом = 0, а = h, параметры e и D определяются по формулам (18.7), (18.9), модуль стержня , модули накладок и .
Таким образом примем:
, , , , и т. д.
Для параметров стержня имеем:
,
, (18.12)
,
Уравнение изгиба композиционной балки поперечной нагрузкой q полностью аналогично сопромату
,
только изгибная жесткость определяется формлуой (18.11).
Устойчивость слоистой балки описывается уравнением
,
полностью идентичным рассмотренным ранее.
Критическая сила в задаче Эйлера
.
Таким образом, слоистые стержни расчитываются аналогично однородным, однако предварительно нужно найти параметры (18.12).
Дата добавления: 2016-09-06; просмотров: 1616;