Метод замены переменной
Замена переменной в неопределенном интегралепроизводится с помощью подстановок двух видов:
1) , где – монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой переменной .
Формула замены переменной в этом случае имеет вид
,
2) , где – новая переменная.
Формула замены переменной при такой подстановке:
Например, найдем интеграл
С помощью замены переменной данный интеграл можно сразу свести к табличному.
Полагая , имеем, т. е. .
Отсюда получаем
Если интеграл является табличным, то интеграл может быть найден с помощью подстановки
Например, применим эту подстановку к интегралу
Имеем и
Следовательно,
Возвратившись к старой переменной, получаем
Аналогично можно показать, что
и т. д.
При нахождении интеграла подстановки можно фактически и не производить. Здесь достаточно принять во внимание, что Таким образом,
где – первообразная для .
Полученную формулу часто называют формулой расширения.
Например, найдем интеграл
Применяя формулу расширения, имеем:
.
Вообще, если подынтегральная функция является произведением двух множителей, один из которых зависит от некоторой функции , а другой является производной этой функции (с точностью до постоянного множителя), то целесообразно сделать замену переменной по формуле
Например, найдем интеграл
Перепишем данный интеграл в виде
Так как производная выражения равна , а второй множитель отличается от этой производной только постоянным коэффициентом 2, то нужно применить подстановку
Тогда Следовательно,
Рассмотрим интеграл
Числитель дроби есть производная знаменателя.
Произведем подстановку Тогда и
Таким образом, интеграл дроби, числитель которой есть производная знаменателя, равен натуральному логарифму модуля знаменателя.
Например,
Здесь знак модуля опущен, так как
Рассмотрим интеграл
Положим Тогда и
Заметим, что данный интеграл можно было найти с помощью подстановки
Дата добавления: 2020-10-25; просмотров: 203;