Интегрирование системы уравнений
Пусть задана система двух уравнений с двумя искомыми функциями
,
.
Требуется найти решения этой системы, удовлетворяющие начальным условиям , при .
Будем определять значения функции и при значениях аргумента , , ,… , ,… . Пусть
.
Приближенные значения функции обозначим
, , ,… , ,…
и соответственно
, , ,… , ,… .
Рекуррентные формулы, по типу формул , выглядят следующим образом
,
.
Для проведения вычислений по этим формулам нужно знать, кроме , , значения , и , . Эти значения находим по формулам типа
,
,
,
.
Для применения этих формул нужно знать , , , , , . Из уравнений и находим
,
.
Дифференцируя уравнения и и подставляя значения , , , , найдем
,
.
Дифференцируя еще раз, найдем и . Зная , , , находим из уравнений и
, , , , , , , , , .
По формулам и найдем и , а из уравнений и найдем и . Вычислив , , , снова по формулам и найдем и и т. д.
Рассмотрим пример нахождения приближенных значений решений системы уравнений , с начальными условиями , при . Значения решения определим при , , , .
Из данных уравнений получим значения для и
,
.
Дифференцируя данные уравнения, находим
,
,
,
.
По формулам и находим
,
,
,
.
На основании данных уравнений находим
, ,
, ,
, ,
, ,
, .
Далее по формулам и находим
,
,
,
.
Известно решение этой системы уравнений , (гиперболические синус и косинус ). Поэтому пять верных, после запятой, знаков решений равны , .
Так как уравнения высших порядков и системы уравнений высших порядков во многих случаях сводятся к системе уравнений первого порядка, то изложенные методы применимы к решению этих задач.
Дата добавления: 2020-10-14; просмотров: 267;