Схема решения произвольных систем.

Теорема Кронекера-Капелли.

Рассмотрим случай, когда число уравнений и число неизвестных системы не совпадает ( ), или матрица системы вырожденная (т.е. ). Для исследования таких систем на совместность служит следующая теорема.

Теорема 1. (Теорема Кронекера-Капелли )

Для того, чтобы неоднородная система т линейных уравнений с п неизвестными была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы

.
Если , то система несовместна.
Если и ранг равен числу неизвестных ( r=n), то решение единственное.
Если и ранг строго меньше числа неизвестных (r<n), то решений бесконечное множество.

( без доказательства)

Пример.

Исследовать систему на совместность

Решение.

. Не выполняется условие теоремы Кронекера-Капелли – система несовместна.

Схема решения произвольных систем.

Для решения произвольной системы необходимо:

1. Записать расширенную матрицу системы и элементарными преобразованиями только по строкам проверить, что .

2. Продолжить элементарные преобразования по строкам таким образом, чтобы получить базисный минор единичного вида.

3. По последней матрице составить систему. Эта система эквивалентна исходной, т.е. имеет то же решение.

4. Неизвестные, коэффициенты при которых образуют базисный минор, назвать базисными переменными, а остальные – свободными переменными.

5. Свободным переменным придать значения произвольных констант.

6. Выразить базисные переменные через свободные. Это будет общее решение системы.

7. Записать ответ.

Пример.

Найти общее решение системы

.

Решение.

1. Составим расширенную матрицу системы и элементарными преобразованиями только по строкам приведем ее к треугольному виду:

2. Нулевую строку отбросим, а к единичному виду удобнее привести минор, состоящий из первого и третьего столбцов.

.

3. По последней матрице составим систему:

. (*)

4. Единичный минор образуют коэффициенты при , следовательно, эти неизвестные – базисные переменные. Остальные неизвестные – свободные переменные.

5. Свободным переменным придадим значения произвольных констант:

.

6. Тогда система (*) будет выглядеть так:

.

Мы выразили базисные переменные через свободные.

7. Общее решение должно содержать все переменные –

или, по правилам сложения матриц и умножения матрицы на число, окончательно получим

– это ответ.