Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей

Гильом Франсуа де Лопиталь (1661-1704) – французский математик.

При вычислении пределов, как известно, приходится раскрывать неопределенности разных видов. В этом параграфе мы познакомимся с правилом Лопиталя раскрытия неопределенностей вида и .

Теорема 1. Пусть функции и непрерывны в точке , дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности точки и . Пусть, кроме того, для всех . Тогда, если существует , то существует и , причем

= . (7.1)

Доказательство. Рассмотрим интервал − правую половину окрестности . Пусть . Заметим, что на отрезке к функциям и можно применить теорему Коши ( и непрерывны на , дифференцируемы в в ). По теореме Коши существует точка такая, что или, так как , . Если , то, очевидно, и . По условию теоремы существует, поэтому существует и и эти пределы равны, т.е. = . Заменив во втором пределе с на х, получим = .

Заметим, что мы рассмотрели случай , т.е. в последних пределах справа.

Аналогично рассматривается интервал . Тем самым равенство (7.1) и теорема доказаны.

В теореме 1 − конечная точка. Рассмотрим теперь случай = .

Теорема 2. Пусть функции и дифференцируемы на луче , причем , и пусть . Тогда, если существует , то существует и , причем

= . (7.2)

Доказательство. Положим , , . Тогда функции и непрерывны в точке справа. Кроме того, , , т.е. функции и дифференцируемы в интервале , причем . Поэтому =│теорема 1│= . Теорема доказана.

Для случая неопределенности вида справедлива

Теорема 3. Пусть функции и дифференцируемы на луче , причем , и пусть . Тогда, если существует , то существует и , причем

= .

Без доказательства.

Замечания. 1) Теоремы 1, 2, 3 справедливы во всех случаях, когда , а конечен или бесконечен.

2) Теоремы 1, 2, 3 называют правилом Лопиталя раскрытия неопределенностей.

3) Если при вычислении предела по правилу Лопиталя снова получается неопределенность вила или , то можно еще раз применить правило Лопиталя и т.д.

4) Применение правила Лопиталя целесообразно комбинировать с известными из главы I способами раскрытия неопределенностей. В этом случае результат получается быстрее.

5) Неопределенности вида можно преобразовать к виду или и затем применить правило Лопиталя.

Примеры.

1) Для имеем

функция – бесконечно большая более высокого порядка при , чем при любом натуральном значении n.

Поскольку при , то и это утверждение остается справедливым для , где – любое число.

2) Для и – бесконечно большая более высокого порядка при , чем любая логарифмическая функция .

Таким образом, показательная функция растет быстрее, а логарифмическая функция медленнее, чем степенная.