Преломление на сферической поверхности. Формула линзы

Две поверхности линзы не всегда имеют одинаковый радиус кривизны. Поэтому возникает вопрос: может быть, и фокусы линзы, даже тонкой, не симметричны? Для ответа на него сначала рассмотрим преломление света на сферической поверхности.

Пусть источник света S находится в воздухе (показатель преломления которого считаем равным единице) на расстоянии d от выпуклой сферической стек­лянной поверхности с показателем преломления п. Рассмотрим преломление световых лучей на сферической поверхности, полагая, что эти лучи являются параксиальными. Оптический ход всех преломленных лучей подчиняется закону Снелля.

Проведем сферическую поверхность, которая разграничит среды с разными показателями преломления. Пусть луч идет из воздуха и попадает в среду с показателем преломления n. Выберем луч, падающий на сферическую поверхность под углом a, и построим преломленный луч (см. рисунок 2.28), восстановив в точку падения перпендикуляр. Этот перпендикуляр обязательно пройдет через центр кривизны сферической поверхности и закон преломления запишется следующим образом:

. (2.6)

Так как световые пучки параксиальны, то углы a и b- малы, формулу (2.6) можно записать следующим образом:

. (2.7)

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, поэтому

и

(2.8)

Выразим углы a и b через эти углы из равенств (2.8) и подставим в равенство (2.7), получим

или

. (2.9)

Рис.2.28

ОР=R-радиус преломляющей поверхности Углы d, j, g опираются на одну и ту же дугу и малы, поэтому

; ; .

Подставим полученные выражения в уравнение (2.9) и сократим h, тогда

. (2.10)

Рис.2.29

Мы получили уравнение, которое может применяться к любому лучу, падающему на сферическую преломляющую поверхность, так как нет зависимости от угла падения, поэтому точку S₁ можно считать изображением точки S.

Теперь рассмотрим линзу толщиной l и радиусами кривизны сферических поверхностей R₁ и R₂.

Применив формулу (2.10) для обеих поверхностей, соответственно получим систему уравнений (рис.2.29):

и .

Решаем эту систему

или

.

В тонкой линзе вершины совпадают, поэтому для тонкой линзы выполняется условие , получаем

.

Фокусом линзы является точка, в которой сходится параллельный пучок лучей после преломления. Параллельный пучок световых лучей можно получить от бесконечно удаленного источника света (d=¥), тогда его изображение получится в фокусе, т.е. f=F. Если учесть, что линза может находиться в любой среде, то показатель преломления n - это уже относительный показатель преломления, поэтому окончательно можем записать:

, (2.11)

где n_лин. - показатель преломления материала линзы, а n_ср. - показатель преломления среды, в которой находится линза; R₁, R₂- радиусы сферических поверхностей линзы. Знаки у радиусов кривизны определяются следующим правилом: радиус кривизны считается положительным, если свет падает на выпуклую поверхность и отрицательным, если свет падает на вогнутую поверхность.

Из этой формулы видно, что перемена местами R₁ и R₂ (равносильная перевертыванию линзы на 180°) не влияет на вычисляемое значение фокусного расстояния F. Для плоской поверхности R=¥. Также эта формула показывает, что одна и та же линза, находясь в разных средах, может быть и собирающей и рассеивающей.

Рассмотрим построение изображения светящейся точки на главной оптической оси. Так как светящаяся точка S находится на главной оптической оси, то все три луча, используемые для построения изображения совпадают и идут вдоль главной оптической оси, а для построения изображения нужно минимум два луча. Ход второго луча определяют с помощью дополнительного построения, которое выполняется следующим образом: 1) строят фокальную плоскость, 2) выбирают любой луч, идущий из точки S;

3)параллельно выбранному лучу, проводят побочную ось;

4) преломленный луч проводят через точку пересечения фокальной плоскости с побочной осью;

5)точка пересечения преломленного луча с главной оптической осью и является изображением точки S.

Заключение

1.Оптические системы служат для изменения оптического хода луча.

2.Оптические характеристики зеркал (фокусные расстояния) всегда связаны с геометрическими характеристиками (радиусом кривизны зеркал), но полученное выражение этой связи справедливо только для параксиальных пучков.

3.Расположение предмета и его изображения всегда связано с фокусным расстоянием зеркала.

4.Все выведенные закономерности используются только с применением правила знаков.