ТЕПЛООТДАЧА ПРИ СВОБОДНОЙ КОНВЕКЦИИ

Свободная конвекция – это движение жидкости за счет разности плотностей ее нагретых слоев (у поверхности нагрева) и холодных. При этом, чем больше разность температур между стенкой и жидкостью, тем интенсивнее движение.

Рассмотрим процесс теплоотдачи на вертикальной стенке, реализующийся при нахождении пластины в неподвижной среде. Будем считать, что температура стенки выше температуры окружающей среды.

Изменение коэффициента теплоотдачи при свободной конвекции

При заданных условиях вдоль пластины возникает восходящее движение воздуха, которое возникает вследствие действия выталкивающей силы Архимеда на воздух в пределах теплового пограничного слоя толщиной δ_т.

Реализуется режим так называемой термогравитационной конвекции, когда из-за разности температур у стенки и вдали от нее возникает разность плотностей. В поле силы тяжести возникает восходящее движение воздуха – свободная конвекция.

Допущения:

1) Силы инерции пренебрежимо малы по сравнению с силами тяжести и вязкости;

2) Конвективный перенос и теплопроводность вдоль течения можно не учитывать.

3) Физические свойства (кроме плотности) =const, сама плотность является линейной функцией температуры.

Будем решать эту задачу с помощью интегрального метода.

Зададим профиль температуры в тепловом пограничном слое виде полинома:

.

(8.1)

Здесь -избыточная температура.

Для нахождения констант а используем три граничных условия:

(8.2)

Задано значение температуры стенки t_c, температура на границе теплового пограничного слоя равна температуре жидкости t_ж, отвод тепла через границу теплового пограничного слоя отсутствует q(y=δ_т)=0.

После подстановки граничных условий в интегральное соотношение профиля температуры, получаем:

(8.3)

Решение этой системы уравнений дает искомые значения констант а:

(8.4)

Тогда профиль температуры будет описываться соотношением:

.

(8.5)

Коэффициент теплоотдачи записывается как:

.

(8.6)

Производная температуры по координате y дает

.

(8.7)

Тогда

.

(8.8)

Как видно из соотношения – коэффициент теплоотдачи при ламинарном течении пленки уменьшается с тостом толщины (термического сопротивления) теплового пограничного слоя .

Профиль избыточной температуры по толщине

теплового пограничного слоя

Для получения количественного значения коэффициента теплоотдачи, требуется решить уравнение движения и неразрывности для пристеночной области (области пограничного слоя).

С учетом принятых допущений уравнения движения записывается как:

, где .

(8.9)

Здесь β -коэффициент термического расширения. Для газов он равен 1/Т_ж.

После подстановки соотношения для плотности в уравнение движения, получаем:

.

(8.10)

Осуществим интегрирование этого уравнения в пределах теплового пограничного слоя, давая себе отчет, что нужно это проделывать в пределах гидродинамического пограничного слоя. В результате мы получим некоторую ошибку, но как будет показано, она не существенна.

Итак, подставляя полученный профиль температуры в уравнение движения получим:

.

(8.11)

Интегрируем по y первый раз

(8.12)

Интегрируем по y второй раз

(8.13)

Мы получили профиль скорости. Найдем константы С₁ и С₂ используя два граничных условия для уравнения движения:

.

(8.14)

Напоминаем о не полной строгости второго граничного условия. При данных граничных условиях получаем величину констант:

(8.15)

Как видно из решения значение скорости в пограничном слое достигает максимума. Найдем координату y, при которой значение скорости его достигает. Для этого приравняем нулю первую производную скорости по координате y.

.

(8.16)

Откуда:

.

(8.17)

Профиль скорости по толщине пограничного слоя

Для получения численных значений и других характеристик гидрогазодинамики требуется определить толщины пограничных слоев и . Этому посвящена последняя часть лекции.

Среднеинтегральная скорость в пограничном слое:

.

(8.18)

Средняя температура в пограничном слое:

.

(8.19)

Расход жидкости через поперечное сечение слоя:

где , м2

(8.20)

Запишем дифференциальное уравнение сохранения массы:

.

(8.21)

Подставим в это уравнение сохранения массы значение получим:

(8.22)

Получим значение dG из соотношений баланса теплоты. В движение вовлекается жидкость с температурой . В движущемся слое эта жидкость нагревается от до . Считаем, что жидкость нагревается до , на этот нагрев затрачивается теплота:

.

(8.23)

Откуда

.

(8.24)

Приравнивая dG:

.

(8.25)

И интегрируя получим:

.

(8.26)

Здесь константа С₃ находится из граничных условий:

(8.27)

Она равна нулю. Окончательно величина теплового пограничного слоя будет равна:

.

(8.28)

Учитывая, что , получим:

.

(8.29)

Для локального значения числа Нуссельта , после подстановки , получим соотношение:

.

(8.30)

Здесь

, .

(8.31)

Для условий изотермической стенки получим:

.

(8.32)

Для условий на стенке легко получить:

.

(8.33)

Итак, мы рассмотрели только одну задачу и получили решение аналитически. Для турбулентного движения среды в пограничном слое необходимо привлечение экспериментальных данных. Полученное нами решение показало, что определяющими безразмерными критериями в условиях теплообмена при свободной конвекции являются числа Грасгофа Gr и ПрандтляPr. Как правило экспериментальные данные аппроксимируются в виде показательных функций от критериальных параметров. Характерный вид функций:

.

(8.34)

Зависимость физических свойств от температуры учитывается в расчете теплоотдачи в виде коэффициента ε_t.

.

(8.35)

Комментарии к выводу расчетного соотношения расчета теплоотдачи при свободной конвекции. Как видно из расчетов, трение на границе пограничного слоя не равно нулю, а поведение профиля скорости вблизи границы не реалистично:

.

(8.36)

Однако это обстоятельство не имеет решающего значения на точность расчета, так как практически все трение сосредоточено вблизи стенки.