Предмет теории вероятностей

До возникновения теории вероятностей объектом исследования науки были явления и опыты, в которых условия практически однозначно определяли исход. Однако для многих задач практики это обстоит несколько иначе.

Рассмотрим пример из механики. Полёт снаряда – это движение материальной точки под действием двух сил: силы тяжести снаряда и сопротивления воздуха. В действительности же на полёт снаряда влияют: его размеры, метеорологические условия, ошибка в наведении, разный вес и т.д. Этих факторов много и учесть их полное влияние невозможно. За счет чего получается пучок траекторий, называемый “рассеивание снарядов”.

 

Данное случайное событие (траектория полёта снаряда), рассмотренное в этом примере, есть следствие действия многих случайных причин. Практически невозможно учесть их влияние на результат события, так как их число велико и законы действия не всегда известны.

Однако, если рассматриваются случайные события, которые могут многократно наблюдаться при осуществлении одних и тех же условий, то практика показывает, что в массе таких случайных событий обнаруживаются вполне определённые закономерности. Например, если много раз бросать монету, то частота появления герба (отношение числа появившихся гербов к общему числу бросаний) приближается к числу 0,5.

Предметом теории вероятностей является изучение закономерностей случайных событий.

 

1.2. Пространство элементарных событий

 

Теория вероятностей, также как и другие разделы математики, изучает не явления окружающего мира, а их математические модели. В математических моделях случайных событий вероятность рассматривается как функция случайного события. Поэтому в начале определим понятие случайного события.

Определение 1. Множество Е назовём пространством элементарных событий, определяемых результатами данного опыта. Элементы этого множества назовём элементарными событиями.

Эти понятия являются первоначальными. Ввиду большого разнообразия случайных событий нельзя дать более конкретного определения. Рассмотрим ряд примеров, поясняющих выбор множества Е.

Пример 1. Опыт состоит в бросании монеты один раз. Возможными исходами при этом будут – выпадение герба или цифры. Тогда , где - выпал герб, - выпала цифра.

Пример 2. Брошена игральная кость. Здесь - выпало “i” очков.

Пример 3. Работа телефонной станции. Нас интересует число поступивших вызовов в течение суток. Тогда - событие, состоящее в “i - 1” вызовах в течение суток.

Пример 4. Нас интересуют траектории частиц при броуновском движении. Здесь , где - непрерывные функции времени t.

Определение 2. Случайным событием или просто событием называется любое подмножество множества Е.

Введём операции над событиями, совпадающие с операциями над множествами.

 

 

1.3. Операции над событиями

 

Определение 3. Если всякий раз, когда происходит событие А в данном опыте происходит и событие В, то говорят, что А влечет за собой событие В и пишут .

Проиллюстрируем это понятие на схематичном рисунке.

Пример 5. При бросании игральной

кости рассмотрим два события:

1. А - выпадение четырёх очков; А В

2. В - выпадение четного числа очков.

Тогда , т.е. событие А влечет E

за собой событие В.

Если же и , то .

Определение 4. Суммой двух событий

А и В называется событие А B

или , состоящее

в появлении по крайней мере A + B

одного из событий А или В. E

Определение 5. Произведением двух событий А и В называется со-бытие или , состоящее в одновременном появлении событий А и В.

Пример 6. Опыт состоит в подбрасы-

вании двух монет:

А - выпадение герба на первой монете; А В

В - выпадение герба на второй монете.

Тогда - выпадение хотя бы E

одного герба, - выпадение двух гербов одновременно.

Определение 6. Разностью двух событий А и В называется событие или , состоящее в появлении события А без события В.

Пример 7. Брошена игральная кость.

Рассмотрим два события: А В

А - выпадение четного числа очков;

В - выпадение двух очков.

Тогда событие - выпадение E

четырёх или шести очков.

Определение 7. Событие Е называется достоверным событием, т.е. это такое событие, которое в результате опыта непременно произойдёт.

Определение 8. Пустое множество называется невозможным событием, т.е. это событие, которое в данном опыте не может произойти.

Определение 9. Событие

называется событием, противоположным

событию А. Событие означает, А

что событие А не произошло.

E

 

Определение 10. События А и В называются несовместными событиями, если . Это означает, что наступление А исключает появление В.

При этом .

Пример 8. Брошена монета.

Рассмотрим два события: А В

А - появление герба;

В - появление цифры. E

Очевидно, что А и В - несовместные события.

Определение 11. События образуют полную группу событий, если:

1. Они попарно несовместны, т.е. ;

2. .

Пример 9. Брошена игральная кость. Тогда события - появление “i” очков образуют полную группу событий.

Пример 10. .

 

1.4. Статистический подход к понятию вероятности

 

Пусть осуществляется п опытов, в результате которых может либо произойти, либо не произойти событие А. Тогда частотой события А называют число

,

где - число появлений события А в п опытах.

Из определения частоты следуют её основные свойства:

1. , так как ;

2.

3.

Итак, каждому событию А мы поставили в соответствие его числовую характеристику – его частоту. Но понятие частоты не удобно по двум причинам:

1. Частота изменяется при изменении числа опытов.

2. Частота зависит от самой серии опытов, т.е. если серию опытов повторить, то частота может быть другой.

В тоже время длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производятся опыты и число их велико, то частота обладает свойством устойчивости. Это означает, что в опытах частота изменяется тем меньше, чем больше произведено испытаний. Подтверждением этого являются исторические примеры:

Число испытаний Число появлений герба Частота

Бюффон 4040 2048 0,5080

Пирсон 24000 12012 0,5005

Вывод. Статистический подход к понятию вероятности состоит в том, что рассматриваемому случайному событию, обладающему свойством статистической устойчивости при большом числе испытаний, можно придать числовую характеристику, которая незначительно отличается от частоты. Это число называется статистической вероятностью.

В рассмотренном примере, очевидно, что в качестве статистической вероятности можно взять число 0,5.

Еще один пример, - как известно, статистическая вероятность рождения мальчика равна 0,51, а девочки – 0,49.

 

 

1.5. Элементы комбинаторики

 

Для изучения дальнейшего материала нам понадобятся некоторые понятия из комбинаторики:

Перестановки.

Пусть дано множество M, состоящее из n элементов. Если переставлять эти элементы всевозможными способами, сохраняя их количество, то получим последовательности, каждую из которых называют перестановкой из n элементов.

Число перестановок из n элементов .

Пример 1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 ?

По формуле для числа перестановок находим количество всевозмож-ных пятизначных чисел

Более общим является случай, когда множество из п элементов раз-бито на k групп одинаковых элементов, причем в каждой i-той группе содержится элементов . В этом случае число раз-личных перестановок п элементов (с повторениями элементов данных групп) вычисляется по формуле

Пример 2. Сколько различных десятизначных чисел можно сложить из множества цифр ?

По формуле для перестановок с повторениями находим количество

различных десятизначных чисел

Сочетания.

Всякое подмножество, содержащее k элементов данного множества М, состоящего из n элементов, называется сочетанием из n элементов по k.

Число сочетаний .

Пример 3. Сколькими способами можно выбрать трех из группы в 11 студентов?

По формуле для числа сочетаний находим количество возможных

способов выбора

Размещения.

Всякое упорядоченное подмножество, содержащее k элементов данного множества М из n элементов, называется размещением из n элементов по k.

Число размещений .

Пример 4. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 ?

По формуле для размещений находим количество всевозможных трех-

значных чисел

Замечание. Часто при решении задач число п достаточно велико, поэтому в таких случаях полезно использовать формулу Стирлинга

4. Основные правила комбинаторики.

Правило суммы. Если некоторый объект можно выбрать п разными способами, а объект можно выбрать т разными способами, причем никакой выбор не совпадает ни с каким выбором , то один из объектов или можно выбрать способами.

Пример 5. На двух полках находится 35 и 40 книг соответственно. Сколькими способами можно выбрать одну книгу ?

По правилу суммы находим число всех возможных способов выбора

Правило произведения. Если некоторый объект можно выбрать п разными способами и при каждом выборе объекта объект можно выбрать т разными способами, то выбор пары объектов можно осуществить способами.

Пример 6. В группе 20 студентов, из них 8 юношей и 12 девушек. Сколькими способами можно выбрать одного юношу и одну девушку для участия в конкурсе?

Каждый из п = 8 вариантов выбора юноши может комбинироваться с одним из т = 12 вариантов выбора девушки, поэтому по правилу произведения число способов выбора пары равно

Пример 7. В группе 20 студентов, из них 8 юношей и 12 девушек. Сколькими способами можно выбрать двух юношей и трех девушек для участия в конкурсе?

Каждый из вариантов выбора двух юношей может комбинироваться с одним из вариантов выбора девушки, поэтому по правилу произведения

число способов выбора равно

 

1.6. Классическое определение вероятности

 

Это определение относится только к тем опытам, у которых возможно конечное число равновозможных исходов. Исходы являются равновозможными, если нет оснований считать, что ни один из них будет более возможным, чем другие. Например, если брошена игральная кость, то исходы: выпало одно очко, - два очка, , - шесть очков – являются равно-возможными.

Определение 1. Вероятностью события А называется число , где n - число всех исходов опыта, а т - число исходов, благоприятных появлению события А.

Из определения следуют основные свойства вероятности:

1. , так как ;

2. , так как в этом случае ;

3. , так как в этом случае .

Пример 8. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что выпадет в сумме три очка.

Пусть А - интересующее нас событие. Благоприятные исходы: (1 , 2) и (2, 1), т.е. . Число общих исходов определяем из того, что каждое число очков на одной кости может сочетаться с шестью вариантами числа

очков на другой кости, т.е. . Тогда .

Пример 9. Абонент забыл последние три цифры семизначного номера и, помня, что они различные, набрал их наугад. Найти вероятность того, что он набрал правильный номер.

Пусть А - интересующее нас событие. Очевидно, что . Число различных вариантов набора трёх различных цифр из десяти будет равна

Тогда .

Пример 10. Некий гражданин купил карточку лото и наугад отметил 6 номеров из 49. Найти вероятность того, что он правильно угадал k номеров из 6 .

Пусть А - интересующее нас событие. Общее число исходов . Число угаданных , каждый из этих вариантов может сочетаться с одним из неправильных вариантов.

Тогда

.

Кстати, при .

 

1.7. Аксиоматическое определение вероятности

 

Аксиоматический подход основывается на основных свойствах вероятности, подмеченных на примерах классического определения и частоты.

Пусть Е - пространство элементарных событий, а - класс событий (набор подмножеств множества E). Будем считать, что в результате любых введенных выше операций над событиями, вновь получаются события этого же класса.

Пример 11. Опыт состоит из подбрасывания игральной кости один раз. Здесь . Выпишем все события, которые образуют . Тогда .

Замечание. Число подмножеств множества из N элементов с учетом Е и равно . Например, в рассмотренном выше примере число таких подмножеств равно .

Определение 2. Числовая функция Р, определяемая на классе событий , называется вероятностью, если выполнены следующие аксиомы:

1. ;

2. ;

3. Если несовместные события, то

.

Из этого определения следуют свойства:

1. .

Действительно, так как и, с учетом аксиом 2 и 3, получаем .

2. .

Действительно, так как , то с учетом свойства 1 и аксиомы 2, получаем .

3. Если образуют полную группу событий, т.е. , то .

Это следует из аксиом 2-3.

4. .

Это следует из свойства 3 и аксиомы 1.

 

Вопросы для самоконтроля:

1. Чем занимается теория вероятностей?

2. Какое явление называется случайны?

3. Что называется случайным, достоверным, невозможным событием?

4. Что называется частотой случайного события?

5. Что называется вероятностью случайного события?

6. Что понимают под статистической вероятностью случайного события?

7. Какое событие называется элементарным? Что понимают под пространством элементарных событий?

8. Сформулировать классическое определение вероятности.

 

Лекция № 2. Основные теоремы теории вероятностей (2ч)

 

2.1. Теорема умножения вероятностей

 

Определение 1. Условной вероятностью события B при условии, что событие A произошло, называется вероятность, определяемая формулой

. (1)

Это можно легко показать для случая классического определения веро-ятности. Будем считать, что формула справедлива в общем случае и про-иллюстрируем её на примере.

Пример 1. В урне 3 белых и 3 синих шара. Из урны вынут один шар, затем второй. Рассмотрим два события: A – первым вынут белый шар, В – вторым вынут синий, тогда АВ – вынуты по очереди белый и синий шары. Найдем вероятности: . Подставив эти вероятности в формулу (1), убеждаемся, что она справедлива.

Определение 2. Если и , то такие события называются независимыми.

Теорема 1. . (2)

Это следует из формулы (1).

Следствие 1. Для независимых событий .

Следствие 2. Если обозначить и , то вероятность появления хотя бы одного из событий, независимых в совокупности, равна

. (3)

Рассмотрим событие - ни одного события не на-ступило. Тогда по следствию 1 из определения вероятности получаем

.

 

2.2. Теорема сложения вероятностей

 

Теорема 2. . (4)

Из диаграммы событий легко получить равенства:

,

где и - попарно

несовместные события. А В

 

Тогда, согласно третьей аксиоме,

получаем

и .

Если из последнего равенства выразить и подставить в первое, то получим формулу (4).

Следствие 3. Если А и В - несовместные события, то получаем третью аксиому.

Пример 2. Вероятности попадания при двух выстрелах соответственно равны . Найти вероятность поражения цели.

Вероятность поражения цели представляет собой событие , где событие А - поражение цели при первом выстреле, а событие В - поражение при втором выстреле.

Первый способ: По теореме сложения вероятностей получаем

Второй способ: По формуле (3) получаем

.

Пример 3. Устройство содержит три независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответственно равны: 0,05 ; 0,06 ; 0,08 . Найти вероятности событий:

1. Откажет один элемент.

Введём события: А - интересующее нас событие; В - отказал первый элемент; С - отказал второй элемент; D - отказал третий элемент.

Тогда

и, согласно теоремам об умножении и сложении вероятностей, получим

2. Ни один элемент не откажет.

Здесь интересующее нас событие и тогда

 

Вопросы для самоконтроля:

1. Сформулируйте теорему сложения для двух произвольных случайных событий.

2. Записать формулу умножения. При каких условиях она имеет место?

3. Дать определение условной вероятности.

4. Сформулировать свойства условной вероятности.

 

Лекция № 3. Формула полной вероятности, формула Байеса. (2ч)

Содержание лекции № 3:

 

3.1. Формула полной вероятности

 

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из событий , образующих полную группу событий. Будем называть их гипотезами. Пусть известны вероятности гипотез: и условные вероятности: . Тогда имеет место формула полной вероятности

Теорема 3.

(5)

Представим событие А в виде

.

Так как события попарно несовместны, т.е. , то и .

Тогда по третьей аксиоме и теореме умножения вероятностей получим

.

Пример 4. Три станка выпускают одинаковую продукцию. Первый станок выпускает 20%, из них – 5% брака, второй - 30% и 3% брака, третий - 50% и 2% брака. Из общей партии берётся наудачу деталь. Какая вероятность того, что эта деталь бракована?

Пусть А - интересующее нас событие, в качестве гипотез рассмотрим события:

- деталь изготовлена на первом станке,

- деталь изготовлена на втором станке,

- деталь изготовлена на третьем станке,

Тогда по формуле (5) получим

 

3.2. Формула Байеса

 

Условия такие же, как и для формулы полной вероятности. Пусть событие А произошло, тогда вероятности гипотез могут быть переоценены по формуле Бейеса.

Теорема 4. . (6)

По теореме умножения вероятностей имеем

и, с учетом формулы полной вероятности, получаем

.

Пример 5. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором находится бензоколонка, относится к числу легковых как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая равна 0,1, легковая – 0,2. К заправке подъехала машина. Найти вероятность того, что она грузовая.

Введём гипотезы:

- подъехала грузовая машина,

- подъехала легковая машина,

Тогда по формуле (6) получаем

 

Вопросы для самоконтроля:

1. Дать определение полной группы событий.

2. Записать формулу полной вероятности.

3. Записать формулу Байеса. При каких предположениях она имеет место?

 

Лекция № 4. Повторение независимых испытаний.Формула Бернулли, локальная теорема Муавра-Лапласа (2ч).

Содержание лекции № 4

4.1. Независимые испытания. Формула Бернулли

 

Испытание – это осуществление определённых условий, в результате которых может произойти то или иное элементарное событие пространства E. Если число исходов испытания - m, то назовём событие - i-м исходом . Обозначим и будем считать, что все

события образуют полную группу событий, тогда

Пусть произведено n испытаний.

Определение 1. Если исходы испытания в каждом опыте не зависят от предыдущих исходов, то испытания называются независимыми.

Например, при бросании игральной кости, исходы: выпало одно, два очка и т.д. не зависят от предыдущих очков – испытания независимые.

Рассмотрим случай (схема Бернулли). Положим , т.е. .

Рассмотрим следующую задачу. Пусть произведено n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может появиться с одной и той же вероятностью р. Требуется найти - вероятность того, что событие А появится k раз, а, значит, событие появится раз.

Рассмотрим в какой либо последовательности чередование событий А и так, чтобы А повторялось k раз, а событие появилось раз. Это событие . По теореме умножения вероятностей получаем

.

По теореме сложения вероятностей равна сумме таких вероятностей для всех различных способов появлений события А (k раз из п), т.е. их число . Поскольку все эти вероятности равны, то получаем формулу Бернулли

. (1)

Замечание 1. Так как все возможные исходы: событие А появилось 0 раз, 1 раз, , п раз образуют полную группу событий, то

Пример 1. Вероятность хотя бы одного попадания при двух выстрелах равна 0, 96. Найти вероятность трёх попаданий при четырёх выстрелах.

Если - вероятность хотя бы одного попадания при двух выст-релах, то

,

тогда вероятность одного попадания и вероятность трёх попа-даний при четырёх выстрелах

 

4.2. Локальная теорема Муавра – Лапласа

 

При больших значениях n формулу (1) использовать затруднительно. Поэтому возникает вопрос о замене её некоторой асимптотической формулой, т.е. приближенной, справедливой при больших п.

Теорема 1. Если вероятность появления события А в каждом из независимых испытаний постоянна и равна р, то вероятность при больших п приближенно равна значению функции

, где при . (2)

Значения функции берутся из таблиц, при этом - четная функция, т.е. .

Пример 2. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероят-ность того, что среди 100 новорожденных окажется половина мальчиков.

Вероятность такого события вычисляем по формуле (2) при и .Имеем

где значение взято из таблицы значений функции .

 

Вопросы для самоконтроля:

1. Определение независимости совокупности событий.

2. Что понимают под испытанием?

3. Записать формулу Бернулли.

4. Записать локальную теорему Муавра-Лапласа. Сформулировать условия ее применения.

Лекция № 5. Повторение независимых испытаний. Теорема Пуассона. Интегральная теорема Лапласа (2 ч).

Содержание лекции № 5:

 

5.1. Интегральная теорема Лапласа

 

Пусть производится п независимых испытаний. Как найти вероятность того, что событие А появится в п испытаниях не менее раз и не более раз? Формулой пользоваться не удобно. Ответ даёт

Теорема 2. Если вероятность появления события А в каждом из п независимых испытаний постоянна и равна р, то вероятность при больших п приближенно равна

,

где

(3)

Для приближенного вычисления данного интеграла

(функция Лапласа)

имеются таблицы, при этом функция нечетная, т.е. .

Тогда

.

Замечание 2. Погрешность вычислений вероятностей по формулам (2) и (3) имеет порядок .

Пример 3. Вероятность того, что деталь прошла проверку ОТК, равна 0,2. Найти вероятность того, среди 400 отобранных наудачу деталей окажется непроверенных от 70 до 100.

Вычислим

Тогда

 

5.2. Теорема Пуассона

 

Из замечания 2 следует, что точность вычисления вероятностей тем хуже, чем меньше р или q. Возникает задача отыскания асимптотической формулы, специально приспособленной для этого случая. Такая формула была получена Пуассоном.

Теорема 3. Если число испытаний велико, а вероятность появления события А в каждом испытании мала, то имеет место приближенная формула

или , (4)

где - среднее число появлений события А в п испытаниях.

Замечание 3. Можно проверить, что при больших п справедливо равенство

Пример 4. Вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна 0,01. Найти вероятность того, среди 400 изготовленных деталей окажется пять бракованных.

Так как число испытаний велико, а вероятность мала, то воспользуемся формулой (4). Найдём и тогда

Замечание 4. Для удобного использования формулы Пуассона также существуют таблицы для . Есть таблицы и для вычисления вероятностей вида

(5)

причем поскольку в формуле Пуассона число испытаний достаточно велико, то п можно не писать, т.е. и

Пример 5. Вероятность того, что деталь будет забракована, равна 0,01. Найти вероятность того, что среди 400 изготовленных деталей будет не больше пяти забракованных.

Очевидно, что поэтому можем воспользо-ваться формулою (5). Из таблицы, учитывая, что и , нахо-дим Следовательно, искомая вероятность равна

 

5.3. Вероятность отклонения частоты от постоянной вероятности

в независимых испытаниях

 

Пусть производится п независимых испытаний с постоянной вероятностью р. Требуется найти вероятность того, что отклонение частоты от р по абсолютной величине не превосходит данного , т.е.

Преобразуем неравенство в скобках

и умножим полученное неравенство на

Полагая в формуле (3) и учитывая нечетность функции Лапласа, получаем

. (5)

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
 | Информация, сообщения, сигналы и помехи

Дата добавления: 2017-10-04; просмотров: 1085;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.109 сек.