Принципы составления математических моделей в нефтегазовой отрасли


1. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

Под принципами сохранения понимается сохранение веществ, свойств и отношений. Сохранение веществ или свойств есть законы сохранения.

Импульс — свойство, присущее как макротелам, так и микрочастицам. Это относится к массе, энергии и т. п., т. е. к величинам, подчиняющимся принципам сохранения.

Принципы сохранения включены в понятие симметрии — единство сохранения и изменения.

По Г. Вейлю, симметричный объект после определенных операций (поворот, сдвиг и т. д.) выглядит так же, как и до операции.

На физические законы принципы симметрии распространяются

следующим образом.

Что можно сделать с физическим явлением или ситуацией, возникшей при эксперименте, чтобы получился тот же самый результат? Симметрия — инвариантность (независимость) физических законов опюсительно некоторого преобразования величин, входящих в эти иконы.

Принципы, связанные с геометрической симметрией, — геометрическая симметрия.

Внутренняя симметрия физических систем связана с динамическими

принципами принципами симметрии.

Геометрическая симметрия — однородность пространства и времени, а также изотропность (равноправие всех направлений) пространства.

Однородность пространства означает, что любая точка пространства может быть взята за начало инерциальной системы отсчета. Изотропность — отсутствие преимуществ в скорости, перемещении, энергии и т. д. при перемещении из любой точки пространства в любом направлении. Однородность времени означает, что абсолютные положения начального и конечного моментов времени не существенны для протекания процессов.

Каждой форме симметрии соответствует вполне определенный закон сохранения. Так, однородность времени соответствует закону сохранения энергии, однородность пространства — закону сохранения момента импульса.

Всякий физический закон формулируется так, что входящие в него величины относятся к некоторой системе координатных осей. Очевидно, что закон не изменяется при изменении координатных осей в пространстве. Как пример можно привести второй закон Ньютона

где т — масса; F — сила; r — радиус-вектор; х, у и z — координаты точки; Fx, Fy и Fz — проекция силы соответственно на оси х, у и z Второй закон Ньютона есть результат принципа детерминированности — начальное состояние механической системы, определяемое совокупностью начальных координат и скоростей, однозначно определяет поведение системы [2]. В действительности, начальное состояние системы х(t0) = х0 и х'(t0)=v0 определяет траекторию т. е. х = х (t, x0, v0) при всех t, а значит и ускорение при любом ; и при t = t0

x"(to) = f(t0;xo; v0).

Согласно принципу относительности в инерциальной системе координат все законы природы одинаковы в любой момент времени t. Следовательно, функция f от t0 явно не зависит, т. е. х" =f(х, х').

При любом повороте осей координат уравнения движения остаются неизменными, так как проекции ускорения и силы преобразуются по одному и тому же закону.

При повороте координатных осей векторные величины изменяются. Ввиду того, что сила и радиус-вектор изменяются по одному и тому же закону, (1.1) также не изменяется при повороте координат. Поскольку


При замене системы oxyz новой системой ох'у'z' с тем же началом (поворот осей) старые координатные точки выражаются новыми формулами




—- направляющие косинусы.

Подставляя (В) в (А), получаем




При повороте осей координат имеем следующие соотношения между единичными векторами:

Из (С) и (D) получаем




Преобразуя аналогичным образом вектор , находим , следовательно,

Теорема о моменте импульса движения не дает никакого дифференциального уравнения движения среды.

Законы механики являются строго обратимыми. Это подтверждается тем, что второй закон Ньютона остается неизменным при изменении знака времени. При замене t на —t левая часть уравнения (1.1) не изменяется


С классических позиций физические процессы считаются изучен­ными в случае, когда составлены: механическая модель и динамиче­ская закономерность.

Динамическая закономерность — утверждение, что задание действующих сил и начального состояния определяет движение любой механической системы. Таким образом, при движении всякой сплошной среды должны выполняться: уравнения неразрывности, уравнения движения и уравнения энергии.

В целом ряде задач можно не учитывать взаимодействия механи­ческих и термических процессов и ограничиться исследованием механических процессов.

Математически это означает, что используется только уравнение неразрывности и уравнение движения, а уравнение энергии не рассматривается, причем поле температур, которое, например, будет влиять на поле плотностей, считается заданным из немеханических соображений.

2. ПРИНЦИПЫ СОСТАВЛЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Дифференциальные уравнения движения в большинстве случаев могут быть выведены, исходя из двух основных законов — сохранения массы и сохранения энергии.

Прежде чем перейти к формулировке основных законов физики применительно к течению жидкости, объясним те термины и обозна­чения, которые имеются в тексте.

Основные понятия

Через и обозначим скорость движения частицы. Причем, если движение установившееся, то и (х) = и, где х — расстояние от движущейся точки до некоторого начала х = 0. При такой записи задается зависимость (функциональная) скорости движущейся точки от ее положения, т. е. от значения местонахождения частицы (ее расстояние от начала отсчета х — 0). При помощи и = и (х) можем определить ее скорость. Так, например, при свободном падении частицы массой т с высоты h в среде, сопротивлением которой пренебрегаем, скорость частицы в зависимости от ее положения определяется формулой

где х — расстояние частицы от поверхности земли (от начала отсчета х = 0).

Задаваясь различными значениями х, в формуле (1.2) можно найти скорость падающей частицы на различных расстояниях от поверхности земли. При определении скорости частицы в различных ее положениях (ее расстояниях от поверхности земли) х = х1; х = х2 и т. д. достаточно в формуле (1.2) х заменить x1 ,x2 и т. д. Если, например, х2 = х1 + х, то по формуле (1.2) —скорость частицы в положении , а скорость частицы в положении х2 = х1 + х .

Таким образом, и = и (х) или и = f (x) определяет скорость частицы, находящейся на расстоянии х от начала отсчета. Точно также и = и (х + х) определяет скорость той же частицы на расстоянии х + х от начала отсчета. Изменение скорости частицы при переходе из положения х в положение х + х определится равенством

.

 

 

Рис. 1. Рис. 2.

В дальнейшем будем называть приращением функции, а — приращением аргумента. При этом малым значениям соответсвутуют малые значения . Другими словами, если , то и .

Следует отметить, что также является функцией х, т. е. при одном и том же приращении приращения функции для различных точек и не будут равны. Чтобы показать последнее, рассмотрим формулу (1.2) для точек = 5м и = 8л. Пусть h = 10 м и = 0,2 м. Тогда

,

а

, т.е.

.

Так как в дальнейшем примем , то остановимся на определении знака приращения функции .

Если и , т. е., например, скорость в точке больше, чем в точке х, то и скорость точки возратает. Если же , т. е. значение функции (в нашем примере значение скорости) в точке х больше, чем в точке , то , и рассматриваемая функция убывает.

Таким образом, во всем интервале, где , функция и (х)

возрастает, а где - —она убывает. На рис. 2 в интервале функция и (х) возрастает, и, следовательно, во всех точках этого интервала - , а в интервале 2; х3) она убывает и, следовательно, . Отношение - - характеризует быстроту изменения функции в зависимости от х на отрезке . Чтобы найти характер изменения и (х) в данной точке х, следует вычислить

Формула (1.3) характеризует быстроту изменения и (х) в зависимости от х. Она дает производную от функции и (х) по аргументу х. Если функция и = и(х) есть зависимость скорости от положения движущейся точки, то - дает значение градиента скорости и в направлении оси х, т. е. характеризует быстроту (и характер) изменения скорости. Если —— , то скорость и(х) на пути х возрастает, если же , то она убывает.

Чем больше абсолютная величина , тем больше изменения скорости в данной точке х. Таким образом, если на каком-либо интервале положительная величина, то это означает возрастание функции и(х), а если отрицательная величина, то—убывание. Если же в какой-либо точке х = х2 имеет место , то в этой

точке функция и(х) достигает или своего максимума (точка перехода от возрастания к убыванию), или же своего минимума (точка перехода от убывания к возрастанию).

При неустановившемся движении, когда скорость движущейся частицы не только изменяется при переходе из одной точки в другую, но и в каждой точке изменяется во времени, обозначим через скорость точки, находящейся на расстоянии х от начала отсчета в момент времени t. Точно также через обозначим скорость частицы той же точки, но в момент времени . Таким образом, будет означать скорость точки, находящейся на расстоянии от начала отсчета в момент времени t, и, наконец, — скорость частицы в точке в момент времени .

Следует особо отметить, что в общем случае величины между собой не равны, но они все будут стремиться к величине при . В нашем примере соответствуют значениям скорости частицы, находящейся на расстоянии х от начала отсчета в моменты времени t и . Поэтому есть приращение скорости частицы в данной точке х за промежуток времени . Точно также есть разность скоростей частиц, характеризующихся в точках в момент времени t. Другими слонами, характеризует изменение скорости во времени в данной фиксированной точке ж, а — изменение скорости в данный момент времени t в различных точках х и х + Ах. При этом и будут зависеть от х и t.

Если , то в данной точке х скорость частицы со временем растет, если же , то она убывает.

Точно также, если , то скорость в точке в данный момент времени t больше, чем и точке х, если же , то скорость в точке х больше, чем в точке . Заметим, что и в этом случае при величина и при величина .

Характер изменения в различных точках в данный момент времени t выражается формулой

Это равенство представляет собой частную производную от функции по в данный момент времени t, которая характеризует измененение функции (ее возрастание или убывание, а также быстроту изменения) вдоль оси х в данный момент времени t.

Точно также

есть частная производная от функции по времени t в фиксиро-ишшой точке , которая характеризует поведение функции и (х, t) (возрастание и убывание и быстроту изменения во времени в рассматриваемой точке ).

Таким образом, если , то во всех рассматриваемых точках функция во времени растет, если же ,то - убывает. Точно также, если , то в данный момент времени t вдоль оси х функция и (х, t) растет, если же , то—убывает.

Еще раз отметим, что при помощи формулы (1.4) определяется изменение скорости (функция вдоль оси в данный фиксированный момент времени t, а при помощи формулы (1.5) — изменение скорости (функция и (х, t) во времени в данной фиксированной точке х. Другими словами, при получении формулы (1.4) время t считаем фиксированным, а при получении формулы (1.5) значение х считается фиксированным. Поэтому

означает изменение скорости (функции и (х, t) вдоль оси х в данный момент времени . Причем при формулы (1.4) и (1.6) совпадают. Точно также

означает изменение скорости (функции и (х, t) во времени в данной фиксированной точке . Причем при формулы (1.7) и (1.5) совпадают.

Из математического анализа известно, что, если

где при , т. е. при малых значениях величина сколь угодно мала.

Перепишем (1.8) в виде

. (1.9)

Так как величина конечная и не зависящая от ,

то при малых значениях второй член в правой части формулы (1.9), т. е. , есть малая величина более высокого порядка,

чем первый член - . Поэтому, пренебрегая величиной по

сравнению с - и обозначая для значений , из формулы (1.9) получаем

(1.10)

Аналогичноиз (1.7) получим

(1.11)

Ниже приводятся некоторые сведения из векторного исчисления, необходимые при дальнейшем изложении материала.

Векторная величина а определяется в общем случае тремя проек­циями на оси декартовой системы координат, т. е.

где — единичные векторы соответственно осей х, у и z. Величину а находим по формуле

Градиент скалярной величины (grad) является векто­ром, направленным по нормали к поверхности . Например, в случае плоскорадиальной фильтрации несжимаемой жидкости (одиночная цилиндрическая скважина в центре круглого цилин­дрического пласта) градиент давления направлен по радиусу, так как поверхности равного давления — цилиндрические окружности. Градиент скалярной величины выражается формулой

где — проекции вектора а соответственно на оси и, следовательно,

Широко применяется в нефтепромысловой механике и понятие скалярной величины — дивергенции векторной величины с

где сх, су и сг — проекции на оси х, у и z.

Исходя из определения дивергенции и градиента имеем

Знак (набла в квадрате), или (дельта), носит название оператора Лапласа.



Дата добавления: 2017-10-04; просмотров: 1172;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.024 сек.