Принципы составления математических моделей в нефтегазовой отрасли
1. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Под принципами сохранения понимается сохранение веществ, свойств и отношений. Сохранение веществ или свойств есть законы сохранения.
Импульс — свойство, присущее как макротелам, так и микрочастицам. Это относится к массе, энергии и т. п., т. е. к величинам, подчиняющимся принципам сохранения.
Принципы сохранения включены в понятие симметрии — единство сохранения и изменения.
По Г. Вейлю, симметричный объект после определенных операций (поворот, сдвиг и т. д.) выглядит так же, как и до операции.
На физические законы принципы симметрии распространяются
следующим образом.
Что можно сделать с физическим явлением или ситуацией, возникшей при эксперименте, чтобы получился тот же самый результат? Симметрия — инвариантность (независимость) физических законов опюсительно некоторого преобразования величин, входящих в эти иконы.
Принципы, связанные с геометрической симметрией, — геометрическая симметрия.
Внутренняя симметрия физических систем связана с динамическими
принципами принципами симметрии.
Геометрическая симметрия — однородность пространства и времени, а также изотропность (равноправие всех направлений) пространства.
Однородность пространства означает, что любая точка пространства может быть взята за начало инерциальной системы отсчета. Изотропность — отсутствие преимуществ в скорости, перемещении, энергии и т. д. при перемещении из любой точки пространства в любом направлении. Однородность времени означает, что абсолютные положения начального и конечного моментов времени не существенны для протекания процессов.
Каждой форме симметрии соответствует вполне определенный закон сохранения. Так, однородность времени соответствует закону сохранения энергии, однородность пространства — закону сохранения момента импульса.
Всякий физический закон формулируется так, что входящие в него величины относятся к некоторой системе координатных осей. Очевидно, что закон не изменяется при изменении координатных осей в пространстве. Как пример можно привести второй закон Ньютона
где т — масса; F — сила; r — радиус-вектор; х, у и z — координаты точки; Fx, Fy и Fz — проекция силы соответственно на оси х, у и z Второй закон Ньютона есть результат принципа детерминированности — начальное состояние механической системы, определяемое совокупностью начальных координат и скоростей, однозначно определяет поведение системы [2]. В действительности, начальное состояние системы х(t0) = х0 и х'(t0)=v0 определяет траекторию т. е. х = х (t, x0, v0) при всех t, а значит и ускорение при любом ; и при t = t0
x"(to) = f(t0;xo; v0).
Согласно принципу относительности в инерциальной системе координат все законы природы одинаковы в любой момент времени t. Следовательно, функция f от t0 явно не зависит, т. е. х" =f(х, х').
При любом повороте осей координат уравнения движения остаются неизменными, так как проекции ускорения и силы преобразуются по одному и тому же закону.
При повороте координатных осей векторные величины изменяются. Ввиду того, что сила и радиус-вектор изменяются по одному и тому же закону, (1.1) также не изменяется при повороте координат. Поскольку
При замене системы oxyz новой системой ох'у'z' с тем же началом (поворот осей) старые координатные точки выражаются новыми формулами
—- направляющие косинусы.
Подставляя (В) в (А), получаем
При повороте осей координат имеем следующие соотношения между единичными векторами:
Из (С) и (D) получаем
Преобразуя аналогичным образом вектор , находим , следовательно,
Теорема о моменте импульса движения не дает никакого дифференциального уравнения движения среды.
Законы механики являются строго обратимыми. Это подтверждается тем, что второй закон Ньютона остается неизменным при изменении знака времени. При замене t на —t левая часть уравнения (1.1) не изменяется
С классических позиций физические процессы считаются изученными в случае, когда составлены: механическая модель и динамическая закономерность.
Динамическая закономерность — утверждение, что задание действующих сил и начального состояния определяет движение любой механической системы. Таким образом, при движении всякой сплошной среды должны выполняться: уравнения неразрывности, уравнения движения и уравнения энергии.
В целом ряде задач можно не учитывать взаимодействия механических и термических процессов и ограничиться исследованием механических процессов.
Математически это означает, что используется только уравнение неразрывности и уравнение движения, а уравнение энергии не рассматривается, причем поле температур, которое, например, будет влиять на поле плотностей, считается заданным из немеханических соображений.
2. ПРИНЦИПЫ СОСТАВЛЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Дифференциальные уравнения движения в большинстве случаев могут быть выведены, исходя из двух основных законов — сохранения массы и сохранения энергии.
Прежде чем перейти к формулировке основных законов физики применительно к течению жидкости, объясним те термины и обозначения, которые имеются в тексте.
Основные понятия
Через и обозначим скорость движения частицы. Причем, если движение установившееся, то и (х) = и, где х — расстояние от движущейся точки до некоторого начала х = 0. При такой записи задается зависимость (функциональная) скорости движущейся точки от ее положения, т. е. от значения местонахождения частицы (ее расстояние от начала отсчета х — 0). При помощи и = и (х) можем определить ее скорость. Так, например, при свободном падении частицы массой т с высоты h в среде, сопротивлением которой пренебрегаем, скорость частицы в зависимости от ее положения определяется формулой
где х — расстояние частицы от поверхности земли (от начала отсчета х = 0).
Задаваясь различными значениями х, в формуле (1.2) можно найти скорость падающей частицы на различных расстояниях от поверхности земли. При определении скорости частицы в различных ее положениях (ее расстояниях от поверхности земли) х = х1; х = х2 и т. д. достаточно в формуле (1.2) х заменить x1 ,x2 и т. д. Если, например, х2 = х1 + х, то по формуле (1.2) —скорость частицы в положении , а скорость частицы в положении х2 = х1 + х .
Таким образом, и = и (х) или и = f (x) определяет скорость частицы, находящейся на расстоянии х от начала отсчета. Точно также и = и (х + х) определяет скорость той же частицы на расстоянии х + х от начала отсчета. Изменение скорости частицы при переходе из положения х в положение х + х определится равенством
.
Рис. 1. Рис. 2.
В дальнейшем будем называть приращением функции, а — приращением аргумента. При этом малым значениям соответсвутуют малые значения . Другими словами, если , то и .
Следует отметить, что также является функцией х, т. е. при одном и том же приращении приращения функции для различных точек и не будут равны. Чтобы показать последнее, рассмотрим формулу (1.2) для точек = 5м и = 8л. Пусть h = 10 м и = 0,2 м. Тогда
,
а
, т.е.
.
Так как в дальнейшем примем , то остановимся на определении знака приращения функции .
Если и , т. е., например, скорость в точке больше, чем в точке х, то и скорость точки возратает. Если же , т. е. значение функции (в нашем примере значение скорости) в точке х больше, чем в точке , то , и рассматриваемая функция убывает.
Таким образом, во всем интервале, где , функция и (х)
возрастает, а где - —она убывает. На рис. 2 в интервале функция и (х) возрастает, и, следовательно, во всех точках этого интервала - , а в интервале (х2; х3) она убывает и, следовательно, . Отношение - - характеризует быстроту изменения функции в зависимости от х на отрезке . Чтобы найти характер изменения и (х) в данной точке х, следует вычислить
Формула (1.3) характеризует быстроту изменения и (х) в зависимости от х. Она дает производную от функции и (х) по аргументу х. Если функция и = и(х) есть зависимость скорости от положения движущейся точки, то - — дает значение градиента скорости и в направлении оси х, т. е. характеризует быстроту (и характер) изменения скорости. Если —— , то скорость и(х) на пути х возрастает, если же , то она убывает.
Чем больше абсолютная величина , тем больше изменения скорости в данной точке х. Таким образом, если на каком-либо интервале положительная величина, то это означает возрастание функции и(х), а если отрицательная величина, то—убывание. Если же в какой-либо точке х = х2 имеет место , то в этой
точке функция и(х) достигает или своего максимума (точка перехода от возрастания к убыванию), или же своего минимума (точка перехода от убывания к возрастанию).
При неустановившемся движении, когда скорость движущейся частицы не только изменяется при переходе из одной точки в другую, но и в каждой точке изменяется во времени, обозначим через скорость точки, находящейся на расстоянии х от начала отсчета в момент времени t. Точно также через обозначим скорость частицы той же точки, но в момент времени . Таким образом, будет означать скорость точки, находящейся на расстоянии от начала отсчета в момент времени t, и, наконец, — скорость частицы в точке в момент времени .
Следует особо отметить, что в общем случае величины между собой не равны, но они все будут стремиться к величине при . В нашем примере соответствуют значениям скорости частицы, находящейся на расстоянии х от начала отсчета в моменты времени t и . Поэтому есть приращение скорости частицы в данной точке х за промежуток времени . Точно также есть разность скоростей частиц, характеризующихся в точках в момент времени t. Другими слонами, характеризует изменение скорости во времени в данной фиксированной точке ж, а — изменение скорости в данный момент времени t в различных точках х и х + Ах. При этом и будут зависеть от х и t.
Если , то в данной точке х скорость частицы со временем растет, если же , то она убывает.
Точно также, если , то скорость в точке в данный момент времени t больше, чем и точке х, если же , то скорость в точке х больше, чем в точке . Заметим, что и в этом случае при величина и при величина .
Характер изменения в различных точках в данный момент времени t выражается формулой
Это равенство представляет собой частную производную от функции по в данный момент времени t, которая характеризует измененение функции (ее возрастание или убывание, а также быстроту изменения) вдоль оси х в данный момент времени t.
Точно также
есть частная производная от функции по времени t в фиксиро-ишшой точке , которая характеризует поведение функции и (х, t) (возрастание и убывание и быстроту изменения во времени в рассматриваемой точке ).
Таким образом, если , то во всех рассматриваемых точках функция во времени растет, если же ,то - убывает. Точно также, если , то в данный момент времени t вдоль оси х функция и (х, t) растет, если же , то—убывает.
Еще раз отметим, что при помощи формулы (1.4) определяется изменение скорости (функция вдоль оси в данный фиксированный момент времени t, а при помощи формулы (1.5) — изменение скорости (функция и (х, t) во времени в данной фиксированной точке х. Другими словами, при получении формулы (1.4) время t считаем фиксированным, а при получении формулы (1.5) значение х считается фиксированным. Поэтому
означает изменение скорости (функции и (х, t) вдоль оси х в данный момент времени . Причем при формулы (1.4) и (1.6) совпадают. Точно также
означает изменение скорости (функции и (х, t) во времени в данной фиксированной точке . Причем при формулы (1.7) и (1.5) совпадают.
Из математического анализа известно, что, если
где при , т. е. при малых значениях величина сколь угодно мала.
Перепишем (1.8) в виде
. (1.9)
Так как величина конечная и не зависящая от ,
то при малых значениях второй член в правой части формулы (1.9), т. е. , есть малая величина более высокого порядка,
чем первый член - . Поэтому, пренебрегая величиной по
сравнению с - и обозначая для значений , из формулы (1.9) получаем
(1.10)
Аналогичноиз (1.7) получим
(1.11)
Ниже приводятся некоторые сведения из векторного исчисления, необходимые при дальнейшем изложении материала.
Векторная величина а определяется в общем случае тремя проекциями на оси декартовой системы координат, т. е.
где — единичные векторы соответственно осей х, у и z. Величину а находим по формуле
Градиент скалярной величины (grad) является вектором, направленным по нормали к поверхности . Например, в случае плоскорадиальной фильтрации несжимаемой жидкости (одиночная цилиндрическая скважина в центре круглого цилиндрического пласта) градиент давления направлен по радиусу, так как поверхности равного давления — цилиндрические окружности. Градиент скалярной величины выражается формулой
где — проекции вектора а соответственно на оси и, следовательно,
Широко применяется в нефтепромысловой механике и понятие скалярной величины — дивергенции векторной величины с
где сх, су и сг — проекции на оси х, у и z.
Исходя из определения дивергенции и градиента имеем
Знак (набла в квадрате), или (дельта), носит название оператора Лапласа.
Дата добавления: 2017-10-04; просмотров: 1172;