Соотношения между магнитными величинами на границе раздела двух магнетиков.

Пусть - поверхность раздела двух магнетиков. Если к элементу поверхности провести направление нормали , то мы получаем возможность выделить пространство “над поверхностью ” и пространство “под поверхностью ”. Верхнее полупространство будем считать “вторым”, а нижнее - “первым”.

При анализе соотношений между компонентами векторных полей, характеризующими магнитное поле в веществе, возникающих на поверхности раздела двух сред, будем исходить из интегральных законов:

, (1)

. (2)

Если соотношению (1) сопоставить соответствующее уравнение электростатики

(3)

и следствие из него

(4)

то, отмечая идентичность математических форм интегральных законов магнитостатики и электростатики, можно записать результат

(5)

Конечно, соотношение (5) можно было бы вывести непосредственно, для этого пришлось бы повторить рассуждения, которые привели в электростатике к зависимости (4), применительно к векторному полю магнитной индукции.

Физическое содержание соотношения (5): нормальные к поверхности раздела двух магнетиков компоненты вектора магнитной индукции при переходе через поверхность раздела не претерпевают разрыва, они непрерывны, т.е. проекции вектора на нормаль к поверхности над поверхностью раздела и под поверхностью раздела одинаковы. Следует обратить внимание на то, что полученный результат является прямым следствием отсутствия в природе магнитных зарядов. Заметим, что этот результат имеет место и в общем случае нестационарного электромагнитного поля.

Соотношение (2) для циркуляции напряженности магнитного поля , в отличие от циркуляции электростатического поля , является неоднородным: в правой части соотношения (2) стоит сила тока проводимости через поверхность, опирающуюся на замкнутый контур . На ориентированной поверхности (т.е. с выбранным направлением нормали ) проведем отрезок произвольного направления - рисунок 2. Определим направление нормали к этому отрезку, лежащей в площадке :

(6)

Пусть на поверхности течет поверхностный ток проводимости с линейной (погонной) плотностью , так что (7)

где - угол между векторами и .

Пусть над поверхностью текут токи с плотностью , а под поверхностью текут токи с плотностью . Через элемент проведем плоскость, перпендикулярную поверхности , в которой рассмотрим контур, образованный смещением отрезка на высоту вверх и вниз, считая положительное направление обхода этого контура согласованным с направлением нормали .

Интегральный закон (2) для напряженности магнитного поля применительно к рассматриваемому контуру имеет вид:

где описывает верхнюю часть контура, - нижнюю часть контура, - оценка членов линейных интегралов по вертикальным участкам контура, - оценка членов поверхностных интегралов, то есть силы тока за счет объемных токов и . Устремляя величину к нулю и замечая, что , получаем:

.

Иначе:

. (8)

Соотношение (8) часто пишут в форме:

. (9)

Физический смысл записи (9) раскрывается в соотношении (8).

В отличие от электростатики, где имеет место соотношение

для любого из множества допустимых направлений на поверхности раздела, в магнитостатике приходится учитывать ориентацию отрезка на поверхности раздела двух магнетиков, поскольку и получены проектированием векторов и на это направление и правая часть (8) и (9) зависит от ориентации вектора . И только в том случае, когда по поверхности раздела двух сред не текут поверхностные токи, приходим к однородным соотношениям:

, (10)

справедливым для произвольного направления .

Итак, нормальные компоненты векторного поля магнитной индукции непрерывны на поверхности раздела двух сред, а касательные компоненты напряженности магнитного поля испытывают скачок, равный величине , определяемой в зависимости от рассматриваемого направления на поверхности раздела сред.

В разделе 12.3 настоящего пособия выведено условие для скачка касательных составляющих напряжённости магнитного поля при переходе через границу раздела двух сред:

. (11)

Привлекательность условия (11) – оно эквивалентно соотношению (9) – состоит в том, что вектор линейной плотности поверхностного тока содержится в приведённом условии именно как вектор, а не в форме проекции на какое-либо направление. Естественно, что условие (11) можно спроектировать на выбранное направление. Различие условий (9) и (11) состоит в том, что условие (9) записано для проекций векторов напряжённости магнитного поля на произвольное касательное направление на поверхности раздела, а условие (11) – для «единственных» составляющих векторов напряжённости магнитного поля, касательных к поверхности раздела в точке наблюдения (произвольный вектор имеет нормальную к поверхности раздела составляющую и касательную составляющую, это разложение единственное).

Что касается соотношений на поверхности раздела сред для векторного поля (намагниченности среды), то их легко получить из приведенных выше, учитывая материальные уравнения среды. Читателю предоставляется возможность проделать это в качестве упражнения. Полезно при этом убедиться, что результаты использования условий для вектора магнитной индукции и напряженности магнитного поля совпадают с результатами прямого установления соотношений на границе раздела двух магнетиков для вектора намагниченности среды.