Электрический диполь во внешнем электростатическом поле.

Рассмотрим, каким воздействиям подвергается электрический диполь с электрическим моментом во внешнем электростатическом поле . В этих условиях он испытывает действие силы

, (1)

момента

(2)

и приобретает потенциальную энергию

. (3)

В процессе вывода соотношений (1) - (3) станет ясен математический и физический смысл приведенных выражений.

Перед началом выкладок напомним некоторые сведения из математического анализа. Для скалярной функции одного переменного справедливо приближенное выражение

. (4)

Это соотношение легко обобщается для случая скалярной функции нескольких пространственных переменных:

(5)

Если - радиус-вектор произвольной точки пространства, - малый произвольный вектор с компонентами , то выше приведенное выражение можно записать в форме:

, (6)

где оператор имеет вид:

, (7)

причем соотношение (7) справедливо в декартовой системе координат.

Для векторной величины соотношение вида (6) можно записать для каждой компоненты отдельно, а в компактной форме записи получить:

. (8)

Зависимости (6) и (8) являются обобщением отрезка ряда Тейлора для скалярной функции одного переменного (4) на многомерный случай скалярного и векторного полей. Рассчитаем силу, действующую на электрический диполь во внешнем электростатическом поле . На рис.1 - радиус-вектор точки расположения отрицательного заряда диполя, а - радиус-вектор точки расположения положительного заряда диполя. Суммарная сила, действующая на рассматриваемую систему электрических зарядов, описывается выражением:

. (9)

С учетом приведенного выше соотношения (8) получим

.

Результат (1) получен.

Заметим, что в случае однородного электрического поля зависимость (1) обращается в нуль. Графическая иллюстрация зависимости (1) показана на рис. 2: электрический диполь в поле точечного положительного заряда испытывает действие притяжения к точке расположения этого заряда, т.е. стремится переместиться в область более «сильного» поля.

Для момента сил, действующих на рассматриваемую систему электрических зарядов, относительно начала координат имеем:

(10)

Если в выражении (10) использовать соотношение (8) для вычисления и в полученном соотношении пренебречь членом с сомножителем из-за его малости, приходим к результату:

(11)

где определено соотношением (1).

Если рассчитывать момент сил (11) относительно точки расположения отрицательного заряда диполя, то получаем и приходим к соотношению (2). Тот же результат получается и при расчете момента сил (10) относительно «центра масс» системы электрических зарядов. Результат использования зависимости (2) графически показан на рис. 3.

Рассчитаем величину потенциальной энергии, приобретаемой электрическим диполем во внешнем электрическом поле. Будем исходить из принципа суперпозиции для потенциальной энергии системы двух одиночных сосредоточенных зарядов, образующих электрический диполь:

. (12)

С помощью формулы (6) преобразуем соотношение (12):

, (13)

где - угол между вектором и направлением вектора напряженности электростатического поля. График зависимости потенциальной энергии электрического диполя во внешнем электрическом поле с напряженностью в зависимости от ориентации диполя относительно силовой линии поля показан на рисунке 4.

Таким образом, соотношения (1) - (3) доказаны.

Обсудим некоторые следствия полученных результатов. Из формулы (1), в частности, следует, что только в неоднородном поле возникает сила, действующая на диполь как на систему зарядов (рис. 2). Из формулы (13) следует, что потенциальная энергия системы будет минимальна, если направления векторов и совпадают между собой ( , ). В этом состоянии момент сил (2) обращается в ноль.

В целом электростатическое поле

- стремится развернуть электрический диполь вдоль силовой линии электрического поля;

- стремится сдвинуть электрический диполь вдоль силовой линии векторного поля в сторону больших значений величины ;

- при повороте вектора дипольного момента относительно силовой линии поля возникает “возвращающий” момент сил, в гармоническом приближении пропорциональный углу поворота.