Электрическая энергия заряженного уединённого проводника.

Рассмотрим заряженный уединённый проводник произвольной формы, помещённый в вакуум. Пусть заряд проводника равен q, а потенциал внешнего (исходного) электростатического поля равен . Потенциал бесконечно удалённой точки пространства принимаем равным нулю. Для точечного электрического заряда величины , находящегося в точке пространства, потенциал которой равен , произведение представляет собой работу, которую совершили бы силы электростатического поля по перемещению этого заряда из рассматриваемой точки в бесконечно удалённую точку пространства по произвольной траектории. Иначе, произведение можно интерпретировать как потенциальную энергию заряда в точке пространства, потенциал внешнего поля которой равен . В основе приведённого рассуждения лежит предположение о том, что в процессе перемещения сосредоточенного электрического заряда распределение потенциала внешнего электростатического поля остаётся неизменным. Это справедливо, поскольку внешнее по отношению к электрическому заряду электростатическое поле создаётся по условию сторонними неподвижными и не изменяющимися зарядами.

В случае разрядки уединённого проводника дело обстоит сложнее: суммарный заряд проводника создаёт вокруг себя электростатическое поле, изменение величины заряда на проводнике сказывается на распределении потенциала в пространстве. Благодаря этому работа сил электростатического поля по перемещению элементарного заряда с поверхности проводника в бесконечно удалённую точку зависит от величины остающегося на проводнике электрического заряда:

. (1)

Таким образом, приращение потенциальной энергии заряда на уединённом проводнике можно описать уравнением

. (2)

Вспомним, что потенциал проводника связан с электрическим зарядом ёмкостью

(3)

Поскольку ёмкость определяется только формой проводника, её величину можно считать постоянной. Подставим соотношение (3) в уравнение (2):

(4)

Потенциальная энергия электрического заряда на уединённом проводнике оказывается равной

(5)

размерность потенциальной энергии – Дж. Можно подумать, что полученные соотношения содержат логическое противоречие: первое из выражений для W определено полностью, а второе и третье определены с точностью до произвольной постоянной. Это не так. Хотя для потенциальной энергии системы произвольное постоянное слагаемое не имеет существенного значения, заметим, что под величиной в этих соотношениях «скрывается» разность . Если об этом не забывать, недоразумений не возникает.

Выражение для потенциальной энергии заряда на уединённом проводнике можно преобразовать. Заметим, что величина заряда проводника определена соотношением

(6)

где - поверхностная плотность электрического заряда на поверхности проводника. Величина связана с величиной нормальной к поверхности компонентой вектора напряжённости электростатического поля около проводника:

(7)

Здесь - внешняя нормаль по отношению к проводнику. Поскольку на поверхности проводника потенциал сохраняет постоянное значение, а напряжённость электростатического поля можно выразить через градиент потенциала, то выражение для потенциальной энергии (5) можно переписать в виде:

. (8)

Теперь вспомним, что потенциал электростатического поля в вакууме вне проводника удовлетворяет уравнению Лапласа . Тогда в каждой точке пространства вне проводника справедливо уравнение:

. (9)

Проинтегрируем это соотношение по объёму вне проводника и используем при этом математическую теорему Остроградского-Гаусса с учётом обращения в нуль вектора на бесконечно удалённой поверхности, в результате получим:

. (10)

В приведённом результате вектор является вектором внешней нормали по отношению к объёму вне проводника. Используя полученный результат в выражении (8) с учётом зависимости напряжённости поля от потенциала, получим окончательно:

. (11)

На первый взгляд, зависимость (11) получена в результате чисто математических преобразований. Но сам результат позволяет по-новому взглянуть на физический смысл соотношения (11): потенциальная энергия электрического заряда на уединённом проводнике конечных размеров выражается через параметры пространства вне проводника, через напряженность электростатического поля вне проводника. Возникает вопрос, взаимодействие электрических зарядов или составляющие электростатического поля обладают физической реальностью? В рамках электростатики на этот вопрос нет ответа. Обе интерпретации равноправны. Но в рамках электродинамики экспериментально показано, что электрическое поле является реально существующим.

Подынтегральная функция в соотношении (11) является объёмной плотностью энергии электрического поля. Её размерность – Дж/м³ .

Зависимость (11) позволяет сформулировать новое определение электрической ёмкости уединённого проводника в вакууме:

(12)

Это выражение можно было бы написать и раньше, но смысл величины как интеграла от объёмной плотности энергии электрического поля, созданного проводником с потенциалом на его поверхности, вне проводника, был бы утерян, а без этого невозможно воспользоваться выражением (12) для конструктивного расчёта величины С.