Предельный переход под знаком интеграла Лебега

Особенно заметны преимущества интеграла Лебега над интегралом Римана, когда мы имеем дело с предельным переходом. В случае интеграла Римана перемена порядка операций интегрирования и перехода к пределу требует установить факт равномерной сходимости последовательности подынтегральных функций. В случае интеграла Лебега подобных трудностей нет. Это вытекает из трёх следующих результатов, играющих центральную роль в теории интегрирования.

Теорема(Лебега о мажорированной сходимости).

Пусть (X,S,m) – пространство с мерой, и – последовательность измеримых функций, сходящаяся почти всюду к . Если существует интегрируемая функция такая, что (для всех ), то f – интегрируема и

.

Теорема (Беппо-Леви о монотонной сходимости).

Пусть (X,S,m) – пространство с мерой и , – монотонно возрастающая последовательность интегрируемых функций и пусть существует , что для всех . Тогда почти всюду существует конечный предел , функция f интегрируема и .

Следствие 1.Пусть – последовательность неотрицательных интегрируемых функций и пусть числовой ряд сходится. Тогда почти всюду сходится ряд и

.

Следствие 2.Пусть и пусть f – измеримая функция такая, что существует и ряд сходится. Тогда f интегрируема и .

Теорема (Фату). Пусть (X,S,m) – пространство с мерой и – последовательность неотрицательных интегрируемых функций, , обладающая свойствами:

1) на X,

2) для всех n.

Тогда функция интегрируема и .