Рассмотрим выборку с повторениями

Пусть имеется выборка из элементов, причем элементов из них - одинаковые.

4. Число различных перестановок на элементах такой выборки равно:

- число перестановок с повторениями на множестве из элементов

5. Сочетание с повторениями из элементов по - неупорядоченная выборка элементов с возвращением из множества, содержащего элементов:

- число различных сочетаний с повторениями из элементов по

6. Размещения с повторениями из элементов по - расположение различных шаров по различным ячейкам

- число различных размещений с повторениями

Определение. Сочетаниями из различных элементов по элементов называются комбинации, которые составлены из данных элементов по элементов и отличаются хотя бы одним элементом (иначе говоря, -элементные подмножества данного множества из элементов).

Как видим, в сочетаниях в отличие от размещений не учитывается порядок элементов. Число всех сочетаний из элементов по элементов в каждом обозначается (от начальной буквы французского слова “combinasion”, что значит “сочетание”).

Числа

Все сочетания из множества по два — .

.

Свойства чисел

1. .

Действительно, каждому -элементному подмножеству данного элементного множества соответствует одно и только одно -элементное подмножество того же множества.

2. .

Действительно, мы можем выбирать подмножества из элементов следующим образом: фиксируем один элемент; число -элементных подмножеств, содержащих этот элемент, равно ; число -элементных подмножеств, не содержащих этот элемент, равно .

Бином Ньютона. Это формула, представляющая выражение ( a + b ) ⁿ при положительном целом n в виде многочлена:

Заметим, что сумма показателей степеней для a и b постоянна и равна n.