Передаточная функция и пространство состояний

Используя преобразование Лапласа, можно построить передаточную функцию для модели объекта в пространстве состояний

Здесь u(t), y(t) и x(t) обозначают соответственно вход, выход и вектор состояния объекта. Преобразуя левые и правые части каждого уравнения по Лапласу (переходя к изображениям сигналов по Лапласу при нулевых начальных условиях), получаем

. (20)

В первом уравнении перенесем все члены, зависящие от X(s), в левую часть

,

где I обозначает единичную матрицу, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы – нули. Умножая обе части последнего равенства на (s⋅I−A)⁻¹, получим выражение для X(s)

,

которое при подстановке во второе уравнение в (20) дает

.

Чтобы определить передаточную функцию, найдем отношение изображений выхода и входа

. (21)

Обратный переход, от передаточной функции к модели в пространстве состояний, более сложен и неоднозначен. Дело в том, что каждой передаточной функции соответствует бесчисленное множество моделей в пространстве состояний. Одну из них можно найти следующим образом. Для передаточной функции

,

где d, a_i(i=0,1,2) и b_i(i=0,1,2) – постоянные коэффициенты, модель в пространстве состояний задается матрицами

, (22)

При увеличении порядка передаточной функции (степени ее знаменателя), эти матрицы расширяются. В нижней строке матрицы A записываются коэффициенты знаменателя с обратным знаком, над главной диагональю – единицы, а остальные элементы – нули. В матрице B только самый последний элемент – единица, а остальные – нули. Наконец, матрица С строится из коэффициентов числителя передаточной функции.

Отметим, что модель, заданную неправильной передаточной функцией (у которой степень числителя больше степени знаменателя) нельзя представить в пространстве состояний.