Преобразование Лапласа

Одна из первых задач, которые были поставлены в теории управления – вычисление выхода системы при известном входе. Для ее решения нужно решать дифференциальные уравнения. Чтобы упростить процедуру, математики придумали преобразование, которое позволило заменить решение дифференциальных уравнений алгебраическими вычислениями, то есть, операциями с полиномами (многочленами) и рациональными функциями.

Для функции f(t) вводится преобразование Лапласа, которое обозначается как L{f (t)}

, (13)

Функция F(s) называется изображением для функции f (t) (оригинала). Здесь s – это комплексная переменная, которая выбирается так, чтобы интеграл (13) сходился.

Обратное преобразование ЛапласаL^-1{F(s)} позволяет вычислить оригинал f (t) по известному изображению F(s)

, (14)

где , а постоянная σ выбирается так, чтобы интеграл сходился.

На практике вместо интеграла (14) чаще всего используют готовые таблицы, по которым можно сразу определить изображение по оригиналу и наоборот. Например, изображения по Лапласу для дельта-функции, единичного скачка и функции e^−at равны, соответственно

. (15)