Некоторые примеры применения метода термодинамических функций
Пример 1. Исследуем зависимость внутренней энергии от объема. Для этого найдем производную (¶U/¶V)T. Изменение внутренней энергии в бесконечно малом обратимом процессе дается выражением (16.1)
dU = TdS –PdV.
Записав это равенство для изотермического процесса и поделив на dV, получим
. (17.1)
Учитывая соотношение Максвелла (16.7) , найдем
. (17.2)
Для идеального газа P = RT/V, (¶P/¶T)V = R/V, следовательно
и .
Значит, внутренняя энергия идеального газа не зависит от объема, а является функцией только температуры. Это закон Джоуля, который ранее уже использовался нами как эмпирический факт. Теперь мы видим, что он является следствием уравнения Клапейрона-Менделеева и второго начала термодинамики.
Напомним, что . Пользуясь независимостью вторых смешанных частных производных от порядка дифференцирования, получим
.
Отсюда следует, что теплоемкость CV идеального газа не зависит от объема, но может зависеть от температуры.
Пример 2.Совершенно аналогично можно найти производную (¶H/¶P)T.
,
, Þ
. (17.3)
Для идеального газа , . Таким образом, энтальпия идеального газа и его теплоемкость СР зависят только от температуры.
Пример 3.РазностьтеплоемкостейCP – CV.
В § 4 на основании первого начала термодинамики была получена формула
. (17.4)
Для вычисления CP – CV по этой формуле необходимо знать и термическое и калорическое уравнения состояния. Второе начало термодинамики и основанный на нем метод термодинамических функций дают возможность решить ту же задачу без использования калорического уравнения состояния. С помощью соотношения (17.2) можно исключить из формулы (17.4) производную (¶U/¶V)T. Это дает
. (17.5)
С помощью тождества (2.4)
формулу (17.5) можно преобразовать к виду
. (17.6)
Зная термическое уравнение состояния, можно по любой из этих формул найти CP – CV. В частности, для идеального газа PV = RT. В этом случае формулы (17.5) и (17.6) приводят к соотношению Майера CP – CV = R.
Если ввести в рассмотрение температурный коэффициент объемного расширения и изотермический модуль объемной упругости , то первую из формул (17.6) можно переписать в виде
. (17.7)
Так как КТ всегда больше нуля, из этого равенства следует, что для всех веществ CP > CV.
Дата добавления: 2017-03-12; просмотров: 1532;