Часто встречающиеся распределения дискретной случайной величины.
1. Закон распределения Бернулли. Пусть случайная величина это число, характеризующее наступления события Aпри одном испытании. При этом множество возможных значений
состоит из 2-х чисел 0 и 1:
, если событие A не произошло, и
если событие A произошло. Таким образом:
![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() |
Распределение Бернулли играет фундаментальную роль в теории вероятностей и математической статистики, являясь математической моделью опыта с двумя исходами.
Пусть, например, имеется партия некоторой продукции, в которой продукция без дефектов встречается с вероятностью , а некачественная продукция с вероятностью
. Пусть случайная величина
, если при выборе попалась качественная продукция и
, если некачественная. Тогда случайная величина
будет иметь распределение Бернулли.
Пример 3.2. Случайная величина — число очков, выпадающих при однократном бросании игральной кости. Возможные значения
— числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. При этом вероятность того, что
примет любое из этих значений, одна и та же и равна 1/6. Какой будет закон распределения?
Решение: Здесь закон распределения вероятностей есть функция р(х)=1/6 для любого значения х из множества {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
![]() |
График этого закона имеет вид, изображенный на рис. 3.3.
2. Биноминальный закон распределения. Случайная величина принимает значения:
, с вероятностью, определяемой по формуле Бернулли:
. Здесь
- постоянная вероятность того, что случайная величина
в серии
испытаний появится
раз.
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Пример этого закона мы рассмотрели выше. График этого закона имеет вид, изображенный на рис. 3.4.
3. Закон распределения Пуассона. Случайная величина принимает бесконечное счетное число значений:
с вероятностью, определяющейся по формуле Пуассона:
(3.2)
где — некоторая положительная постоянная - параметр распределения Пуассона..
В этом случае говорят, что случайная величина распределена по закону Пуассона. Заметим, что при
следует положить
.
Формулу Пуассона можно получить как предельный случай формулы Бернулли при неограниченном увеличении числа испытаний n и при стремлении к нулю вероятности .
Пример 18. На завод прибыла партия деталей в количестве 1000 шт. Вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна 0,001. Какова вероятность того, что среди прибывших деталей будет 5 бракованных?
Решение: Здесь . По формуле (17) находим
Распределение Пуассона часто встречается и в других задачах. Так, например, если телефонистка в среднем за один час получает N вызовов, то, как можно показать, вероятность того, что в течение одной минуты она получит k вызовов, выражается формулой Пуассона, если положить
.