Применение интеграла Мора при продольно-поперечном изгибе.

Как известно, интеграл Мора получен из принципа возможных перемещений. Поскольку этот принцип применим и для продольно-поперечного изгиба, то формула Мopa также справедлива. При потере устойчивости критическая деформация системы происходит в условиях продольно-поперечного изгиба.

Если при расчете устойчивости рамной или балочной конструкции пренебречь, как это принято при обычных расчетах, деформациями сдвига и обжатия оси, то интеграл Мopa запишется следующим образом:

(121)

где - действительное перемещение «сжато-изогнутой» системы;

M - ордината изгибающих моментов с учетом продольно- поперечного изгиба;

- ордината единичной эпюры моментов без учета продольного изгиба, т.е. от единичной поперечной нагрузки.

Для определения перемещения по формуле (122) при продольном изгибе необходимо вычислить интеграл . Будем считать, что нормальная сила N и жесткость EY на участке «L» м заданной рамы постоянны. Произвольный участок AB с приложенными по концам продольной силой N и моментами а и b показан на рис.66.

Запишем дифференциальное уравнение изгиба сжато-изогнутого стержня с постоянной продольной силой (123)

.

Продифференцируем уравнение дважды:

. (124)

Рис.66 Произвольный участок AB стержня с приложенными по концам продольной силой N и моментами а и b

Так как – линейная функция, то вторая производная от неё обратилась в нуль.

Учитывая, что и , имеем: (125)

Обозначив , получим следующее дифференциальное уравнение:

(126)

Решение этого дифференциального уравнения известно:

(127)

Из граничных условий

Найдем ;

или

Уравнение (127) запишется так:

(128)

Эпюра моментов от единичного воздействия всегда будет прямолинейной (рис.67) и момент в произвольном сечении может быть предоставлен уравнением:

. (129)

Рис. 67 Эпюры моментов М от единичных воздействий

Подставим полученные значения М и в интеграл: .

После интегрирования, приведения подобных членов и введения нового обозначения

(130)

получим формулу, которую будем называть «обобщённой формулой трапеции»:

, (131)

где ;

.

Коэффициенты и β( ), вычисленные в зависимости от , приведены в таблице 2.(Приложение см.)

Формула (131) устанавливает правило определения перемещений путём «перемножения» двух эпюр. Перемножаются только трапеции эпюр моментов М и от поперечной нагрузки без учёта действия продольной силы, влияние которой учитывается множителями и β( ).

Заметим, что при ; , β( )=1и «обобщённая формула трапеции» совпадает с обычной «формулой» трапеции для перемножения двух линейных эпюр.

Если участок имеет переменные по его длине момент инерции и нормальную силу, то его необходимо разбить на конечное число малых участков и рассматривать EY и N для малого участка приближенно постоянными.

Пример. Дана «сжато-изогнутая» система, показанная на рисунке 68.

Требуется определить углы и β с учётом продольного изгиба.

Воспользуемся «обобщённой формулой трапеции» (131).

Рис. 68 Расчетная схема «сжато-изогнутой» балки

Действительная эпюра моментов М и две единичных эпюры моментов, соответствующие девиациям и β, показаны на рис. 69.

Рис. 69 Действительная эпюра моментов М и две единичных эпюры моментов

Если N=0, то при

Следовательно,

Так как , то