Электродинамика направляющих систем

 

2.1 Основные положения

 

Электромагнитное поле (ЭМП) определяется как особый вид материи, характеризующийся возможностью распространения в вакууме со скоростью близкой к 3×108 м/с, и оказывающей силовое воздействие на заряженные частицы.

ЭМП представляет собой единство двух своих составляющих – электрического и магнитного полей. Считают, что ЭМП определено, если в каждой точке пространства известны величины и направления четырех векторов:

Е – напряженности электрического моля, В/м,

D – электрического смещения к/м2,

В – магнитной индукции, Тл,

М – напряженности магнитного поля А/м.

Электрическое поле характеризуется силовым воздействием, как на неподвижные, так и движущиеся заряды. Магнитное поле характеризуется силовым воздействием лишь на движущиеся заряды. Электрические и магнитные поля связаны с определенными количествами э/м энергии.

 
 

Различают два основных типа векторных полей: потенциальное и вихревое. Потенциальное поле тесно связано со своим источником. Линии поля имеют начало и конец. Линии вихревого поля представляют собой замкнутые петли, всегда непрерывны, не имеют начала и конца.

 

Рис 1 Графическая структура векторных полей

 

Графически структура векторного поля т.о. изображается либо с помощью векторов ряде точек пространства, либо с помощью линии поля, которое в каждой точке касательно вектора поля. Протяженность этих линий пропорциональна величине вектора в данной точке. Изменение любого из векторов по какому-либо направлению изображается эпюрой поля; вектора строятся для модуля вектора или для любой его координатной составляющей.

Для векторов электромагнитного поля в вакууме справедливы соотношения:

;

 

Где – электрическая постоянная

– магнитная постоянная

Среды, в которых распространяются электромагнитные волны, принято характеризовать макроскопическими параметрами, к которым относятся:

eа– абсолютная диэлектрическая проницаемость; mа – абсолютная магнитная проницаемость; s – удельная проводимость. Для удобства сравнения свойств реальных сред вакуумом вводят относительную проницаемость:

и

Источником ЭМП являются свободные заряды и токи. Свободными считаются заряды, способные под воздействием электрического тока перемещаться на макроскопические расстояния (электроны в металлах, ионы в электролитах).

Распределение свободных зарядов в некотором объеме характеризуют объемной поглощенностью заряда:

где dq заряд элементарного объема dV. Заряд q кв в объеме V определяется из соотношения:

Электрические токи, рассматриваются в качестве источников ЭМП, разделяют на два вида: ток проводимости и ток смещения. Ток проводимости I представляет собой упорядоченное движение свободных зарядов под действием электрического поля в проводящих материалах:

Здесь dq - заряд, переносимый заряженными частицами через некоторую поверхность S в течении времени dt. Для оценки интенсивности и направления движения зарядов в водят понятие «вектор плотности тока проводимости . Его величина (модуль) , а направление совпадает с направлением тока. Ток через поверхность S определяется как поток вектора j, т.е.:

Под током смещения понимают процесс изменения во времени электрического поля:

Плотность тока смещения:

Предметом электродинамики направляющих систем является изучение переменных ЭМП, среди которых важную роль играют гармонические (монохроматические) поля. Речь идет о полях, изменяющихся во времени по синусоидальному закону с определенной частотой. Математический анализ монохроматических полей в линейных средах значительно упрощается при использовании символического метода (комплексной формы записи), который широко применяется в теории переменных токов.

Рассмотрим особенности этого метода применительно к векторным величинам.

Мгновенное значение гармонически изменяющегося вектора, например в декартовой системе координат можно записать в виде:

где – единичные вектора-орты по направлениям x,y,z соответственно; Emx, Emy, Emz - амплитуды; jx, j y, j z, – фазы; w – циклическая или круговая частота гармонических колебаний. Амплитуды и фазы не зависят от времени, а только от координат x,y,z.

Обозначим

С помощью формулы Эйлера:

составляющие гармонического вектора представляются в виде реальной части некоторого комплексного вектора:

; ;

где

Выделим в выражении комплексных чисел временной множитель . Оставшаяся величина:

Содержит информацию об амплитуде и начальной среде гармонического вектора и называются комплексной амплитудой.

Таким образом, гармонический вектор может быть выражен через комплексную амплитуду:

Такое представление позволяет во всех векторных величинах, описывающих физически реальное гармоническое поли, опустить одинаковый для них множитель , а все операции выполнить над комплексными амплитудами.

Если тогда можно записать:

Метод комплексных амплитуд существенно упрощает технику решения основных уравнений электродинамики, т.к. уравнение для комплексных амплитуд не содержит зависимости от времени.

Последнее объясняется тем, что дифференцирование комплексной функции по времени эквивалентно умножению её на iw.

, аналогично

 

Мгновенное значение гармонически изменяющегося вектора, например, напряжениями электрического поля в декартовой системе координат можно записать в виде:

или через комплексный вектор:

Где:

; – комплексная амплитуда

Если максимально, выражение для комплексной амплитуды упрощается:

Производная по времени для

Аналогичные соотношения выполняются для вектора .


2.2 Основные уравнения электромагнитного поля

 

Основные уравнения ЭМП, называемые уравнениями Максвелла, обобщают два основных закона электродинамики, закон полного тока и закон э/м индукции.

Закон полного тока устанавливает количественное соотношение между вектором напряженности магнитного поля Н и электрическим током.

(1)

Согласно этому закону линейный интеграл напряженности магнитного поля по любому замкнутому контуру равен полному току, проходящему сквозь поверхность, ограниченную этим контуром. Ток I включает в себя ток проводимости и ток смещения (I = Iпр + Iсм). Данное уравнение называют первым уравнением Максвелла. Это уравнение количественно характеризует магнитное поле, возникающее при движении электричества и изменении электрического поля.

Закон э/м индукции открытый Фарадеем устанавливает соотношение между напряженностью электрического поля Е и магнитным потоком . В соответствии с законом э/м индукции электродвижущая сила, возникает в контуре при изменении магнитного потока Ф, проходящего сквозь поверхность, ограниченную контуром, равна скорости изменения этого потока со знаком минус.

(2)

Это уравнение называют вторым уравнение Максвелла.

Поток электрического смещения через любую замкнутую поверхность равен электрическому заряду, заключенном внутри этой поверхности:

(3)

Это соотношение из электростатики известно как теорема Гаусса. Оно устанавливает, что электрические заряды служат истоками и стоками электрического поля .

Поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю. Линии вектора В замкнуты, либо уходят в бесконечность.

(4)

Из этого уравнения вытекает, что магнитные заряды в природе отсутствуют.

Уравнение (1) и (4) представлены в интегральной форме. Для решения практических зарядов большое значение имеют уравнение Максвелла в дифференциальной форме которые записываются так:

(5)

(6)

Где

– вектор плотности тока проводимости (закон Ома в дифференциальной форме: ).

 

К уравнениям Максвелла относят также:

(7) где r – плотность эл. заряда

(8)

 

Уравнение (7) означает, что если в некотором объеме объемная плотность электрического заряда r = 0, то ч/з поверхность, ограничивающую этот объем, расходятся в окружающее пространство или сходятся в него линии электрического поля, т.е. электрическое поле представляет собой потенциальное поле и оно имеет источники и стоки.

 

Уравнение (8) означает, что магнитные линии всегда непрерывны и образуют замкнутые петли, т.е. магнитное поле представляет собой вихревое поле. Его также называют соленоидальным. Магнитное поле не имеет источников.

 

Система уравнений Максвелла дополняется уравнениями

называемыми материальными уравнениями среды.

 

Уравнения Максвелла для изотропной среды принимают вид:

 

При гармонических колебаниях, уравнения Максвелла с не использованием комплексной формы записи примут вид:

Где – комплексная д/э проницаемость;

здесь tg d – тангенс угла д/э потерь.

 

 

Написанные уравнение Максвелла справедливы для любой системы координат. В декартовой системе координат уравнение Максвелла примут вид:

 

 

       
   
 

В этих уравнениях составляю­щие вектора ЭМП в системе координат x,y,z.


2.3 Однородные волновые уравнения для векторов и .

 

Снова запишем уравнения Максвелла для гармонических колебаний:

Перепишем первое уравнение:

Возьмем дивергенцию от левой и правой части:

но , т.е.

Тогда для изотропной среды можно записать:

Получим:

т.е. или

т.о. уравнение Максвелла может быть записано:

Уравнение первое и второе содержат две неизвестные векторные функции Е и Н. Исключим одну из них. Возьмем ротор от левой и правой части первого и второго уравнения:

 

а поскольку и , то

 

Если , тогда комплексную величину можно определить как и назовем её коэффициентом распространения в среде. Тогда уравнения запишутся:

Эти уравнения второго порядка называются однородными волновыми урав­нениями (Уравнения Гельмгольца). Оператор называется лаплассианом. Лаплассиан от скалярной функции y в цилиндрической системе координат:

Лаплассианом от вектора - вектор, его составляющими в декартовой системе координат является лаплассиан от соответствующих компонент дифференци­руемого вектора:

Для декартовой системы координат векторные волновые уравнения распада­ются на шесть независимых скалярных волновых уравнений:

Все эти уравнения имеют совершенно одинаковую форму. Поэтому для на­хождения составляющий достаточно решить лишь одно уравнение в частных произ­водных, например:

 

Остальные составляющие Е и Н могут быть выражены через эти составляющие непосредственно из уравнений Максвелла.

 

Волновые уравнения м.б. записаны и в других системах координат. Однако они будут иметь более сложную форму и не дают столь простых уравнений от­носи­тельно всех составляющих поля.

Приведем уравнение для составляющей поля Нz в цилиндрической системе коор­динат :

2.4 Граничные условия для векторов

электромагнитного поля

 

На границе между материальными телами параметры среды e, m, d скачкооб­разно изменяются. Согласно материальным уравнениям среды, испытывают скачки некоторые векторные поля.

Для решения задач электродинамики, помимо уравнений Максвелла, необходимо знать граничные условия - соотношения между векторами поля в двух очень близких точках, находящихся по обе стороны границы раздела двух сред. Граничные условия являются следствием уравнений Максвелла для этого особого случая. Особый интерес представляют границы разнородных сред, присутствующие в большинстве практических задач. Например граница медь–диэлектрик (кабель, волновод), диэлектрик (e1) – диэлектрик (e2), волоконный световод и другие.

Рассмотрим отдельно граничные условия для электрических магнитных полей. При этом на границе имеют место быть, как нормальные (Еn, Нn), так и касательные (Еt, Мt) составляющие полей.

Для электрического поля на границе раздела двух сред имеет место равенство векторов электрического смещения для нормальных составляющих (D1n= D2n), и напряженности электрического поля для касательных составляющих (Е1t= Е2t).

Если на границе раздела сред расположен поверхностный заряд rs то нормальные составляющие векторов электрической индукции испытывают скачек на величину поверхностного заряда: D1n – D2n = rs

Для магнитного поля на границе раздела сред имеется равенство векторов магнитной индукции для нормальных составляющих (B1n= B2n) и магнитного поля для касательных составляющих (H1t= H2t).

При наличии поверхностного тока на границе раздела сред (js) касательная составляющая напряженности магнитного поля испытывает разрыв, равный его плотности: H1t – H2t = js

Т.о. в общем случае граничные условия записываются:

D1n – D2n = rs; Е1t= Е2t

B1n= B2n; H1t – H2t = js

В случае отсутствия поверхностных зарядов rs и поверхностных токов js действует равенство всех приведенных компонент.

При изучении переменных э/м полей в общем поверхности металлических тел часто предполагают, что рассматриваемое тело является идеально проводящим (s = ¥). В этом случае напряженность электрического поля внутри проводника равна нулю. Тогда для проводящей среды, например второй D2 = E2 = B2 = H2 = 0 и выше приведенные уравнения примут вид:

E1t = 0; B1n = 0; H1t = js (соответственно Н1n=0).


2.5 Энергия ЭМП

 

Запас э/м энергии в объеме V определяется выражением:

где – энергия электрического поля в единице объема;

– энергия магнитного поля в единице объема.

Используя уравнение Максвелла, можно показать что:

Где – вектор элемента поверхности S ограничивающая объем V.

Данное выражение носит название теоремы Умова–Пойтинга. Левая часть характеризует расход э/м энергии за единицу времени, правая – показывает, на что расходуется энергия, заключенная в объеме, за единицу времени.

Первый член правой части представляет собой поток энергии, протекаю­щей в единицу времени через замкнутую поверхность S объема V. Поскольку было предположено уменьшение энергии в объеме, то интеграл:

выражает энергию , уходящую за пределы объема в единицу времени. Количество энергии протекающей в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению потока энергии, выражается векторной величиной:

– называемой вектором Пойтинга.

Согласно закону второй член в правой части выражает энергию, преобра­зовываемую в тепло за единицу времени.

 

2.6 Электромагнитные процессы в проводниках

и диэлектриках

 

Идеальный проводник - это среда с бесконечно большой удельной проводимостью (s ® ¥). Предположим, что энергии (Wэ + Wм) электриче­ского и магнитного полей, заключена в объем V, изменяется во времени. Скорость её уменьшения равна:

Аналогично: , тогда:

Заметим, что имеет место тождество:

Тогда на основании этого и теоремы Остроградского-Гаусса:

Таким образом, получаем:

Среда, не обладающая проводимостью:

В идеальном проводнике может существовать только ток проводимости: , и в идеальном диэлектрике – только ток смещения: .

В реальных средах имеется как ток проводимости, так и ток смещения. Принято среду считать проводящей, когда:

Диэлектрик характеризуется неравенством:

 

2.6.1 ЭМП в диэлектрике (weа >> s)

 

В диэлектрике величиной s пренебрегаем , т.е. s = 0. Уравнение Максвелла примут вид (для гармонических колебаний):

Волновые уравнения о декартовой системе координат получаются:

 

здесь коэффициент распространения:

Рассмотрим наиболее простой случай распространение плоской э/м волны в однородном диэлектрике. Э/м волна называется плоской, когда все величины, характеризующие интенсивность э/м процесса, зависят только от одной декартовой координаты. Пусть волновой процесс распространяется вдоль оси z. Тогда поперечными по отношению к направлению распространения являются координаты x, y и при этом:

Решим уравнение Гемгольца для вектора . Примем, что Получаем дифференциальное уравнение второго порядка. Общим решением этого дифференциального уравнения является суперпозиция двух частных решений:

Коэффициент распространения можно записать, как:

Где

– называется коэффициентом затухания волны в среде

– называется коэффициентом фазы волны в среде.

Примем, что

Величина называется волновым числом. С учетом этого можно переписать:

Мгновенные значения напряженности запишутся:

Первое слагаемое здесь называется прямой волной, а второе - обратной.

 

Если E01 = E02 = E0 и j01 = j02 = j0 ,то:

– получается стоячая волна.

Пусть обратная волна отсутствует, тогда:

 

Построим пространственное распределение величины Ех для двух моментов времени t1 и t2 = t1 + Dt.

Рис 2 Распределение Ех для двух моментов времени: t1 и t2

Косинусоида t2 оказалась смещенной на расстояние Dz относительно своего положения t1.

Скорость этого перемещения V называется фазовой, определяется из условия равенства фаз двух косинусоид:

 

, откуда:

и , поскольку , тогда получаем:

Для вакуума: , а в среде:

, где e – коэф. укорочения

т.к. относительная магнитная проницаемость в диэлектрике равна 1 (m = 1).

Расстояние при прохождении которого волна изменяет стою фазу на 2p, называется длиной волны и определяется из равенства: b(z + l) – bz=bl=2p

Определим напряженность магнитного поля прямой волны. Воспользуемся уравнением Максвелла.

Здесь – называется волновым сопротивлением.

Для вакуума m = e = 1; Zв = 376,8 Ом

В общем случае волновое сопротивление комплексная величина.

 

 

2.6.2 ЭМП в диэлектрике (s>>weа)

 

Уравнение Максвелла записываются:

Волновое уравнение:

Рассмотрим случай, когда плоская э/м волна распространяясь в д/э, подхо­дит перпендикулярно к плоской поверхности, ограничивающей с одной сто­роны проводящую среду. Допустим также, что обе среды простираются от поверхности раздела до бесконечности. Падающая волна частично отража­ется от поверхности проводящей среды, частично проникает в эту среду и поглощается в ней.


 

Рис 3 Вектор пойтинга

 

Распишем уравнение Максвелла в заданной постановке:

, откуда:

Волновое уравнение запишется: , определим :

таким образом:

Найдем скорость распространения:

 

Длина волны определяется из соотношения:

, откуда

Решением волнового уравнения является:

Рассмотрим только прямую волну:

Мгновенное значение напряженности электрического поля запишется:

данная волна затухающая, затухание амплитуды пропорционально .

Глубиной проникновения Q называется такое расстояние от поверхности проводящей среды, на котором амплитуда волны уменьшается в e раз.

 

 

Величина Q определяется из соотношения:

, т.о.

здесь z1 – z2 = Q, тогда единицы измерения:

– коэффициент вихревых токов.

Определим составляющую из уравнения Максвелла:

тогда:

 

 

2.7 Классы электромагнитных волн направляющих систем

 

Характер распространения электромагнитных волн в направляющих системах, структура поля и свойства систем зависят прежде всего от типа волны, используемой для передачи энергии.

 

Существуют следующие классы волн:

1) ТЕМ – поперечно-электромагнитная волна;

2) Е (или ТМ – поперечно-магнитная) - электрическая волна;

3) Н – магнитная волна (или ТЕ – поперечно-электрическая);


4) ЕН, НЕ – гибридные смешанные волны (дипольные волны);

 

Рис 4 Характеристика электромагнитных волн направляющих систем.

В направлении оси z происходит распространение волны.

Волна ТЕМ содержит только поперечные составляющие поля (продольные составляющие Еz и Нz равны нулю), т.е. линии полей Е и Н целиком лежат в поперечных плоскостях и в точности повторяют картину линий поля при статическом напряжении и постоянном токе.

Волна ТЕМ существует лишь в линиях, содержащих не менее двух изолированных проводников, находящихся под разными потенциалами. Она используется при передаче энергии в сравнительно ограниченном диапазоне частот по проводным системам, где определяющими являются токи проводимости Iпр, в частности при передаче по симметричным коаксиальным цепям.

 

Волны Е и Н содержат, кроме поперечных э/м (Е^ и Н^) по одной продольной составляющей поля, для волн Е поле Еz = 0 и для волн Н поле Нz=0. Поэтому их силовые линии располагаются как в поперечных, так и в продольных сечениях направляющих систем, эти волны возбуждаются в весьма высоком диапазоне частот, где определяющими являются токи смещения Iсм. Они используются при передачи энергии по металлическим и диэлектрическим волноводам. Процесс передачи основных волн связан с потенциальным полем, а волн высшего порядка Е и Н с вихревым полем.

Волны Е и Н можно передавать по однопроводным направляющим системам, например волноводам. Для этих волн необходима продольная составляющая поля Е и Н, которая задает направление движения энергии вдоль линии. Разность потенциалов создается полюсами и стенками волновода. Поэтому по волноводу передаются лишь очень короткие волны. Длина волн должна быть такой, чтобы в сечении волновода и уложилось целое число полуволн или хотя бы одна полуволна.

 

Гибридные или смешанные волны представляют собой сумму волн Е и Н и содержит до шести компонентов поля, в том числе обе продольные составляющие Еz и Нz. К числу смешанных волн относятся волны, передаваемые и ди электрическими волноводами. Гибридные смешанные волны разделяются на два типа. НЕ – с преобладанием в поперечном сечении поля Н, и ЕН - с преобладанием в поперечном сечении поля Е.

               
   
Ez
     
Hz
 
 
E^
 
 
   
H^

 

 


Рис 5. Цилиндрический проводник

 

 

2.8 Исходные принципы расчета направляющих систем.

 

Уравнения Максвелла дают возможность решить практически любую электродинамическую задачу, включая передачу сигналов связи по различным направляющим системам в разных диапозонах частот. Однако во многих случаях крайне сложно, а подчас и нецелесообразно искать точные решения на базе электродинамики. Существуют приближенные методы решения задач различных классов. Наиболее характерными методами, которые можно считать предельными для электродинамики, явились методы теории электрических цепей и геометрической оптики. В первом случае совершается переход от волновых процессов к колебательным (длина волны l >> D, а во втором - к лучевым ( геометрическим) процессам l << D.

В зависимости от соотношения длины волны и поперечных геометриче­ских размеров D системы можно подразделить на три режима передачи.

 

1) Квазистационарный режим при l >> D, соответствующий низкочастотному диапазону (l ® ¥). В этом случае передача ведется на поперечно-электромагнитной волне ТЕМ. Здесь волновые уравнения ЭМП выражаются в уравнение электромагнитостатики и решаются с помощью законов Ома и Кирхгофа, и обычных телеграфных уравнений теории цепей. Это справедливо для частот до 108 ¸ 109 Гц (метровый диапазон).В данном режиме осуществляется передача по двухпроводным воздушным линиям симметричному кабелю, коаксиальному кабелю.

 

2) Электродинамический (резонансный) режим при l » D, соответствую­щий волновым процессам, описываемым полными уравнениями электродина­мики – уравнениями Максвелла. В этом режиме передача ведется по направляю­щим системам на волнах типа Е и Н. К таким направляющим системам относятся волноводы, линии поверхностной волны, а также коаксиальные кабели при передачах на сверхвысоких частотах 1010 ¸ 1012 Гц (сантиметро­вый и миллиметровый диапазоны). Одномодовые световоды также работают в этом режиме (микронные волны). Этот режим наиболее сложен для исследования, т.к. здесь имеют место резонансные процессы (l»D).

 

3) В квазиоптическом режиме действуют законы геометрической (лучевой) и волновой оптики. Здесь приходится иметь дело с лазерными системами, диэлектрическими волноводами, световодами, работающими на смешанных гибридных волнах (ЕМ или НЕ) и симметричных волнах Еот, Нот в оптическом диапазоне 1013 ¸ 1015 Гц (микронные волны).

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Колебательное движение. Гармонические колебания. Смещение системы. | Амплитуда, частота и фаза синусоидального тока и напряжения

Дата добавления: 2017-01-16; просмотров: 2657;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.083 сек.