Распределение Пуассона

Некоторые законы распределения и их числовые характеристики Биномиальное распределение

К этому распределению приводит схема Бернулли: пусть производится n независимых, однородных испытаний, в каждом из которых событие A может произойти с вероятностью p(A) = p, а ему противоположное - с вероятностью p( ) = 1 - p = q. Рассмотрим случайную величину z, которая принимает значение 1, если при испытании событие А произошло, и 0 – если не произошло (ее можно назвать индикатором события А).

M(z) = 1×p + 0×q = p;

D(z) = (1–p)2×p + (0–p)2×q = pq.

Рассмотрим теперь дискретную случайную величину x, равную числу появлений события A при n испытаниях. Возможными значениями x являются все целые числа от 0 до n, а вероятность того, что x примет значение m, определяется ранее полученной формулой (1.16) Бернулли

. (2.18)

Для вычисления математического ожидания и дисперсии воспользуемся тем, что , где независимы и имеют одинаковое распределение, заданное только что приведенной таблицей. Воспользуемся свойствами математического ожидания и дисперсии, учитывая независимость zk,

(2.19)

Распределение Пуассона

Дискретная случайная величина называется распределённой по закону Пуассона, если её возможными значениями являются все неотрицательные целые числа (0, 1, 2, ...), а вероятность того, что случайная величина x примет значение m, определяется формулой Пуассона

. (2.20)

К этому закону, как уже отмечалось, мы приходим в схеме Бернулли при n ® ¥ и np = a (асимптотически). К нему же приводит задача о простейшем, стационарном (пуассоновском) потоке и ряд других.

Проверим выполнение условия нормировки

,

где мы воспользовались полученной в анализе формулой .

Аналогично, получим

.

Чуть более сложные выкладки дают Таким образом, математическое ожидание и дисперсия для этого распределения равны, то есть оно определяется одним параметром, что в ряде случаев является очень существенным.