Теоретические законы распределения отказов, модели безотказности

В теории надежности используют различные математические мо­дели появления отказов согласно природе их возникновения в зави­симости от периода и условий эксплуатации или изготовления конст­рукции технических средств.

Интенсивность отказов технических средств λ(t) в течение срока службы изменяется во времени, как показано на рис. 27.

Для начального периода времени (от t₀ до t₁) характерны ранние отказы вследствие дефектов материала или производственных де­фектов. Контроль качества и испытания первых образцов обычно по­зволяют исключить многие изделия, не отвечающие техническим тре­бованиям, и избежать тем самым большой интенсивности отказов в начальный период.

Второй отрезок кривой (от момента t₁ до момента t₂) изображает случайные отказы (или внезапные отказы), вызываемые неожидан­ным увеличением напряжения, предельно тяжелыми условиями рабо­ты при неблагоприятном сочетании нагрузок и т. д.

Отрезок кривой после точки t₂ изображает износовые отказы (или постепенные отказы). Здесь интенсивность отказов возрастает по мере старения оборудования.

В некоторых случаях более удобно выбирать модель интенсивно­сти отказов, а не распределение наработки до отказа. Поэтому целе­сообразно рассмотреть различные модели интенсивности отказов.

Рис.27. Интенсивность отказа за период службы изделия

Экспоненциальное распределение,

Рассмотрим вначале случаи внезапных отказов, когда постепен­ные отказы не оказывают значительного влияния (участок между t₁ и t₂ на рис. 27). В этих случаях в качестве вероятностной модели воз­никновения отказов используют экспоненциальное распределение, ко­гда интенсивность отказов постоянная λ(t)=λ=const (Рис.28). Внезап­ные отказы не зависят от возраста деталей, и формула расчета ве­роятности безотказной работы имеет вид

Плотность распределения

Как обычно λ(t) ≤ 0,1, поэтому формулу для вероятности безотказ­ной работы можно упростить в результате разложения в ряд и отбра­сывания малых членов:

Интенсивность отказов в этом случае определяется выражением

где - средняя наработка до отказа; n - общее чис­ло отказов за наблюдаемый период.

Рис. 28. Функции вероятности безотказной работы P(t), плотности вероятности f(t) и интенсивности отказов λ(t) экспоненционального распределения

Вероятность безотказной работы в зависимости от λ(t) t =t/t_m

Вероятность P(t)=0,368 означает, что 62,2% отказов возникает за время t<t_m , и только 36,8% позднее. Отсюда следует, что достижение требуемой вероятности безотказной работы 0,9 или 0,99 возможно при достачно малой доли среднего срока службы (соответственно 0,1 t_m и 0,01 t_m).

Закон нормального распределения

Для описания закона распределения времени безотказной работы в период появления постепенных (износовых) отказов наиболее универсальным, удобным и широко применяемым для практических расчетов является закон нормального распределения (участок после t₂ на рис.27). Для постепенных отказов характерны законы распреде­ления времени безотказной работы, которые вначале дают низкую плотность распределения, затем максимум и далее падение, связан­ное с уменьшением числа работоспособных изделий. График плотно­сти вероятности нормального распределения в этом случае имеет колоколообразную форму, симметричную относительно среднего значе­ния (Рис. 29).

Рис.29. Функция плотности вероятности нормального распределения

В связи с многообразием причин и условий возникновения отказов в период нормального износа для описания надежности могут приме­няться различные законы распределения, которые устанавливают пу­тем аппроксимации результатов испытаний и наблюдений в эксплуатации.

Нормальное распределение является наиболее универсальным, удобным и широко применяемым для практических расчетов. Распре­деление всегда подчиняется нормальному закону, если на изменение случайной величины оказывают влияние многие примерно равнознач­ные факторы. Этому закону подчиняется наработка до отказа боль­шинства восстанавливаемых и невосстанавливаемых изделий, физи­ко-механические свойства материалов изделий и сред взаимодейст­вия, размеры и ошибки измерений деталей и т.д.

Плотность нормального распределения возникновения случайных событий-отказов описывается формулой Гаусса

где t и t_m текущая и средняя (математическое ожидание) наработ-

ки; ; n - число изделии, вышедших из строя к заданному

моменту времени; е - основание натуральных логарифмов; S - среднее квадратическое отклонение от математического ожидания (t_m) случайной величины (t) наработки на отказ

Иногда для характеристики изменчивости случайной величины ис­пользуют дисперсию D=S². Математическое ожидание t_m на графике закона нормального распределения (см. рис.29) определяет положе­ние вершины «колокола», а среднее квадратическое отклонение - ширину его основания.

Кривая плотности распределения нормального закона тем острее и выше, чем меньше S. Она начинается от t =-∞ и распространяется до t =+∞. Площадь, очерченная уходящими в бесконечность ветвями кри­вой плотности, выражающая соответствующую вероятность отказов, очень мала. Так, вероятность отказа за период времени до t_m-3S со­ставляет всего 0,135% и обычно в расчетах не учитывается. Вероят­ность отказа до t_m-2S равна 2,175%. Наибольшая ордината кривой плотности распределения нормального закона равна

Вероятности отказа и безотказной работы взаимосвязаны

или

Вычисления интегралов заменяют таблицами. Однако таблицы для нормального распределения в функции двух переменных (t-t_m) и S бы­ли бы громоздкими, поэтому пользуются небольшими таблицами в функции одной переменной х для нормального распределения, у которого m_x=0 и S_x=1. Для этого распределения функция плотности имеет одну переменную х

Величина х является центрированной, так как т_х=0, и нормирован­ной, так как S_x=1. Для использования таблиц определяют переменную х подстановкой . В инженерной литературе эту переменную называют квантилью нормированного нормального распределения и обычно обозначают символом и_р.

В литературе по надежности часто вместо интегральной функции распределения используют функцию Лапласа

Тогда, учитывая, что

, а

имеем

или же

В результате полученные формулы позволяют определять вероят­ности событий в зависимости от квантилей нормального распределе­ния

Помимо задачи оценки вероятности безотказной работы за дан­ное время или за данную наработку часто возникает необходимость в решении обратной задачи - определение времени или наработки, со­ответствующих заданной вероятности безотказной работы. Значение этой наработки (времени) определяют с помощью квантилей норми­рованного нормального распределения

Значения квантилей даются в таблицах в зависимости от требуе­мой вероятности безотказной работы (табл.1). Операции с нормаль­ным распределением проще, чем с другими, поэтому при малых зна­чениях коэффициентов вариации V=S/t_m, когда нормальное распреде­ление хорошо заменяет другие распределения (пуассоново, лога­рифмически нормальное), отдают предпочтение нормальному рас­пределению, и им заменяют другие распределения

Нормальное распределение Таблица 1.

Продолжение табл.1

Распределение Вейбулла

Наиболее универсальной математической моделью описания рас­пределения случайных величин является распределение Вейбулла, которое удовлетворительно описывает наработку деталей и элемен­тов металлоконструкций по усталостным разрушениям. Распределе­ние Вейбулла широко используется для оценки надежности деталей и узлов различных машин, в частности, автомобилей, подъемно- транспортных, землеройных и других машин.

Основные закономерности распределения Вейбулла:

вероятность безотказной работы

интенсивность отказов

плотность распределения отказов

Здесь t₀ характеризует масштаб кривой распределения и соответ­ствует ее моде, т.е. время, при котором плотность вероятности макси­мальна. Показатель степени т определяет форму кривой плотности распределения.

Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение определяются соответственно формулами

где b_т и с_т- коэффициенты, представленные в табл. 2 [1].

Рассмотрим частные случаи, характеризующие возможности и универсальность распределения Вейбулла:

т <1 - функции λ(t) и f(t) от наработки до отказа убывающие;

т=1 - распределение превращается в экспоненциальное λ(t)=const и f(t) - убывающая функция;

т> 1 - функция f(t) одновершинная, функция λ(t) непрерывно воз­растающая при 1< m<2 с выпуклостью вверх, а при т>2 - с выпукло­стью вниз;

т=2 - функция λ(t) является линейной и распределение Вейбулла превращается в распределение Рэлея;

m=3,3 - распределение Вейбулла близко к нормальному.

Эти свойства распределения Вейбулла используются при обра­ботке результатов испытаний с целью установления закона распределения отказов технических изделий в процессе эксплуата­ции. Для этого выполняют следующие действия:

• составляют таблицу обработки результатов эксперименталь­ных данных

• по данным экспериментов определяют вероятность безотказ­ной работы P(t)=1-n/N,

где N - общее количество изделий, принимавших участие в испы­таниях на надежность, n - количество изделий, вышедших из строя к моменту времени t,

• определяют значение дополнительной функции y=-lgP(t);

для каждого момента t определяют lgy и lgt;в координатах lgt - lgy строят график (рис. 30), проводя через полученные точки прямую;

Рис.30. Графическое определение параметров распределение Вейбулла

• определяют значения показателя степени m=lgα и логарифма величины t₀ lgt₀=A-0,362, где α - угол наклона прямой к оси абсцисс, А - отрезок, отсекаемый прямой на оси координат;

• по полученному значению показателя степени т определяют закон распределения вероятности безотказной работы изделия.

Распределение Вейбулла Таблица 2

Параметр формы т	1/т	bт	cm
0,400	2,5	3,32	10,4	3,14
0,417	2,4	2,98	8,74	2,93
0,435	2,3	2,68	7,38	2,75
0,455	2,2	2,42	6,22	2,57
0,476	2,1	2.20	5.27	2.40
0,500	2,0	2,00	4,47	2,24
0,526	1,9	1,83	3,81	2,08
0,556	1,8	1,68	3,26	1,94
0,588	1,7	1,54	2,78	1,80
0,625	1,6	1,43	2,39	1,67
0,667	1,5	1,33	2,06	1,55
0,714	1,4	1,24	1,78	1,43
0,769	1,3	1,17	1,54	1,32
0,833	1,2	1,10	1,33	1,21
0,909	1,1	1,05	1,15	1,10
1,0	1,00	1,00	1,00	1,00
1,1	0,909	0,965	0,878	0,910
1,2	0,833	0,941	0,787	0,837
1,3	0,769	0,924	0,716	0,775
1,4	0,714	0,911	0,659	0,723
1,5	0,667	0,903	0,615	0,681
1,6	0,625	0,897	0,574	0,640
1,7	0,588	0,892	0,540	0,605
1,8	0,556	0,889	0,512	0,575
1,9	0,526	0,887	0,485	0,547
2,0	0,500	0,886	0,463	0,523
2,1	0,476	0,886	0,439	0,496
2,2	0,455	0,886	0,425	0,480
2,3	0,435	0,886	0,409	0,461
2,4	0,417	0,887	0,394	0,444
2,5	0,400	0,887	0,380	0,428

Примечание. V-коэффициент вариации

Логарифмически нормальное распределение

Для описания закона распределения отказов деталей и элементов металлоконструкций в результате усталостного разрушения широко используют логарифмически нормальное распределение, параметры и показатели которого указаны ниже.

Плотность распределения отказов

где µ и S параметры, определяемые по результатам испытаний. Так, при испытаниях N изделий до отказа

Математическое ожидание наработки до отказа

Среднее квадратическое отклонение

Вероятность безотказной работы можно определять по таблицам для нормального распределения (см. табл. 1) в зависимости от значе­ния квантили