ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ 7 глава


Основными свойствами пространства и времени являются: а) единство и неразрывная связь материи, пространства и времени; б) абсолютная непрерывность и относительная прерывность пространства и времени. Непрерывность проявляется в распространении материальных полей в пространстве всех тел и систем, в бесконечном следовании элементов длины при движении тела между двумя точками. Прерывность пространства относительна и проявляется в раздельном существовании материальных объектов и систем, каждая из которых имеет определенные размеры и границы. Прерывность времени характеризуется лишь временем существования качественных состояний материи, каждое из которых возникает и исчезает, переходя в другие формы; в) время обладает длительностью, однонаправленностью, необратимостью.

Последовательно развивая новые, отличные от классических, представления о пространстве и времени, А. Эйнштейн в начале XX в. создал специальную теорию относительности (СТО). В рамках этой теории удалось согласовать принцип относительности с электродинамикой Максвелла. При этом новая теория не отменяла старую (ньютоновскую механику), а включала ее в себя как частный, предельный случай.

 

5.2. Постулаты специальной теории относительности.

Преобразования Лоренца

 

Специальная теория относительности представляет собой современную физическую теорию пространства и времени. В СТО, как и в классической механике, предполагается, что время однородно (инвариантность физических законов относительно выбора начала отсчета времени), а пространство однородно и изотропно (симметрично). Специальная теория относительности называется также релятивистской теорией, а явления, описываемые этой теорией – релятивистскими эффектами.

В основу СТО легло положение, согласно которому никакая энергия, никакой сигнал не могут распространяться со скоростью, превышающей скорость света в вакууме, а скорость света в вакууме постоянна и не зависит от направления распространения.

Это положение формулируется в виде двух постулатов А. Эйнштейна: принципа относительности и принципа постоянства скорости света.

Первый постулат является обобщением механического принципа относительности Галилея на любые физические процессы и утверждает, что законы физики имеют одинаковую форму (инвариантны) во всех инерциальных системах отсчета: любой процесс протекает одинаково в изолированной материальной системе, находящейся в состоянии покоя, и в такой же системе, находящейся в состоянии равномерного прямолинейного движения. Состояние покоя или движения определяется здесь относительно произвольно выбранной инерциальной системы отсчета; физически эти состояния равноправны.

Второй постулат утверждает: скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя и одинакова во всех инерциальных системах отсчета.

Анализ явлений в инерциальных системах отсчета, проведенный А. Эйнштейном на базе сформулированных им постулатов, показал, что преобразования Галилея несовместимы с ними и, следовательно, должны быть заменены преобразованиями, удовлетворяющими постулатам СТО.

Рассмотрим две инерциальные системы отсчета: К (с координатами x, y, z) и К΄ (с координатами x΄, y΄, z΄), движущуюся относительно К вдоль оси х со скоростью =const. Пусть в начальный момент времени (t = t΄ = 0), когда начала систем координат совпадают (0 = 0΄), излучается световой импульс. Согласно второму постулату Эйнштейна скорость света в обеих системах одна и та же и равна с. Поэтому если за время t в системе К сигнал дойдет до некоторой точки А, пройдя расстояние

(5.6)

 

то в системе К΄ координата светового импульса в момент достижения точки А будет равна

(5.7)

 

где - время прохождения светового импульса от начала координат до точки А в системе К΄. Вычитая (5.6) из (5.7), получим:

 

 

Так как (система К΄ перемещается относительно К), то получается, что , т.е. отсчет времени в системах К΄ и К различен или имеет относительный характер (в классической механике считается, что время во всех инерциальных системах отсчета протекает одинаково, т.е. t = t΄).

А. Эйнштейн показал, что в СТО классические преобразования Галилея при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой заменяются преобразованиями Лоренца (1904 г.), удовлетворяющими первому и второму постулатам (табл. 5.1).

 

Таблица 5.1

Прямые преобразования Обратные преобразования
Галилея Лоренца Галилея Лоренца

 

Из преобразований Лоренца вытекает, что при малых скоростях (по сравнению со скоростью света) они переходят в преобразования Галилея. При v>c выражения для x, t, x΄ и теряют физический смысл, т.е. движение со скоростью, большей скорости света в вакууме, невозможно. Кроме того, из табл. 5.1 следует, что как пространственные, так и временные преобразования Лоренца не являются независимыми: в закон преобразования координат входит время, а в закон преобразования времени - пространственные координаты, т.е. устанавливается взаимосвязь пространства и времени. Таким образом, релятивистская теория Эйнштейна оперирует не трехмерным пространством, к которому присоединяется понятие времени, а рассматривает неразрывно связанные пространственные и временные координаты, образующие четырехмерное пространство-время.

 

5.3. Следствия из преобразований Лоренца

 

1. Относительность одновременности. Пусть в системе К в точках с координатами х1 и х2 в моменты времени t1 и t2 происходят два события. В системе К΄ им соответствуют координаты и и моменты времени и . Если события в системе К происходят в одной точке (х12) и являются одновременными (t1=t2), то, согласно преобразованиям Лоренца,

 

т.е. эти события являются одновременными и пространственно совпадающими для любой инерциальной системы отсчета.

Если события в системе К пространственно разобщены (х1 ≠ х2), но одновременны (t1=t2), то в системе К΄, согласно преобразованиям Лоренца,

Таким образом, в системе К΄ эти события, оставаясь пространственно разобщенными, оказываются и неодновременными.

2. Длительность событий в разных системах отсчета. Пусть в некоторой точке А с координатой х, покоящейся относительно системы К, происходит событие, длительность которого (разность показаний часов в конце и начале события) , где индексы 1 и 2 соответствуют началу и концу события. Длительность этого же события в системе К΄

,

где

 

 

Таким образом, или ,

т.е. длительность события, происходящего в некоторой точке, наименьшая в той инерциальной системе отсчета, относительно которой эта точка неподвижна. Следовательно, часы, движущиеся относительно инерциальной системы отсчета, идут медленнее покоящихся часов, т.е. ход часов замедляется в системе отсчета, относительно которой часы движутся.

3. Длина тел в разных системах отсчета. Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси и покоящийся относительно системы К΄. Длина стержня в системе К΄ равна , где , - не изменяющиеся со временем координаты начала и конца стержня; индекс 0 показывает, что в системе К΄ стержень покоится. Определим длину стержня в системе К, относительно которой он движется со скоростью v. Для этого необходимо измерить координаты концов стержня х1 и х2 в системе К в один и тот же момент времени t. Их разность и даст длину стержня в системе К:

-

т.е.

Таким образом, размер тела, движущегося относительно инерциальной системы отсчета, уменьшается в направлении движения в раз, т.е. лоренцево сокращение длины тем больше, чем больше скорость движения.

4. Релятивистский закон сложения скоростей. Пусть материальная точка движется в системе К΄ вдоль оси , а система К΄ движется относительно К со скоростью v (оси х и совпадают). Тогда

 

Произведя вычисления, получим релятивистский закон сложения скоростей:

Если скорости v, малы по сравнению со скоростью света, то эти формулы переходят в привычный закон сложения скоростей в классической механике. Релятивистский закон сложения скоростей не противоречит второму постулату Эйнштейна: если то , т.е. скорость с – предельная скорость, которую невозможно превысить.

 

5.4. Основной закон релятивистской динамики.

Релятивистская энергия

 

Согласно представлениям классической механики, масса тела есть величина постоянная. Однако в конце XIX в. на опытах с электронами было установлено, что масса тела зависит от скорости его движения, а именно возрастает с увеличением v по закону

(5.8)

где - масса покоя, т.е. масса материальной точки, измеренная в той инерциальной системе отсчета, относительно которой точка покоится; m – масса точки в системе отсчета, относительно которой она движется со скоростью v.

Из принципа относительности Эйнштейна, утверждающего инвариантность всех законов природы при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, следует, что основной закон динамики Ньютона

оказывается инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца, если в нем справа стоит производная от релятивистского импульса:

(5.9)

или

(5.10)

где

(5.11)

Из приведенных формул следует, что при скоростях, значительно меньших скорости света в вакууме, они переходят в формулы классической механики. Следовательно, условием применимости законов классической механики является условие . Законы Ньютона получаются как следствие СТО для предельного случая . Таким образом, классическая механика – это механика макротел, движущихся с малыми (по сравнению со скоростью света в вакууме) скоростями.

Вследствие однородности пространства в релятивистской механике выполняется закон сохранения релятивистского импульса: релятивистский импульс замкнутой системы тел сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.

Изменение скорости тела в релятивистской механике влечет за собой изменение массы, а, следовательно, и полной энергии, т.е. между массой и энергией существует взаимосвязь. Эту универсальную зависимость – закон взаимосвязи массы и энергии – установил А. Эйнштейн:

(5.13)

Из (5.13) следует, что любой массе (движущейся m или покоящейся ) соответствует определенное значение энергии. Если тело находится в состоянии покоя, то его энергия покоя

Энергия покоя является внутренней энергией тела, которая складывается из кинетических энергий всех частиц, потенциальной энергии их взаимодействия и суммы энергий покоя всех частиц.

В релятивистской механике не справедлив закон сохранения массы покоя. Именно на этом представлении основано объяснение дефекта массы ядра и ядерных реакций.

В СТО выполняется закон сохранения релятивистской массы и энергии: изменение полной энергии тела (или системы) сопровождается эквивалентным изменением его массы:

 

(5.14)

Таким образом, масса тела, которая в классической механике является мерой инертности или гравитации, в релятивистской механике является еще и мерой энергосодержания тела.

Физический смысл выражения (5.14) состоит в том, что существует принципиальная возможность перехода материальных объектов, имеющих массу покоя, в электромагнитное излучение, не имеющее массы покоя; при этом выполняется закон сохранения энергии.

Классическим примером этого является аннигиляция электрон-позитронной пары и, наоборот, образование пары электрон-позитрон из квантов электромагнитного излучения:

В релятивистской динамике значение кинетической энергии Ек определяется как разность энергий движущегося Е и покоящегося Е0 тела:

 

(5.15)

 

 

При уравнение (5.15) переходит в классическое выражение

Из формул (5.13) и (5.11) найдем релятивистское соотношение между полной энергией и импульсом тела:

 

(5.16)

 

Закон взаимосвязи массы и энергии полностью подтвержден экспериментами по выделению энергии при протекании ядерных реакций. Он широко используется для расчета энергического эффекта при ядерных реакциях и превращениях элементарных частиц.

 

Краткие выводы

 

· Специальная теория относительности – это новое учение о пространстве и времени, пришедшее на смену классическим представлениям. В основе СТО лежит положение, согласно которому никакая энергия, никакой сигнал не может распространяться со скоростью, превышающей скорость света в вакууме. При этом скорость света в вакууме постоянна и не зависит от направления распространения. Это положение принято формулировать в виде двух постулатов Эйнштейна – принципа относительности и принципа постоянства скорости света.

· Область применения законов классической механики ограничена скоростью движения материального объекта: если скорость тела соизмерима со скоростью света, то необходимо использовать релятивистские формулы. Таким образом, скорость света в вакууме является критерием, определяющим границу применимости классических законов, т.к. она является максимальной скоростью передачи сигналов.

· Зависимость массы движущегося тела от скорости движения определяется соотношением

· Релятивистский импульс тела и соответственно уравнение динамики его движения

· Изменение скорости в релятивистской механике влечет за собой изменение массы, а, следовательно, и полной энергии:

· В СТО выполняется закон сохранения релятивистской массы и энергии: изменение полной энергии тела сопровождается эквивалентным изменением ее массы:

Физический смысл этого соотношения заключается в следующем: существует принципиальная возможность перехода материальных объектов, имеющих массу покоя, в электромагнитное излучение, не имеющее массы покоя; при этом выполняется закон сохранения энергии. Это соотношение является важнейшим для ядерной физики и физики элементарных частиц.

 

 

Вопросы для самоконтроля и повторения

 

1. В чем заключается физическая сущность механического принципа относительности? Чем отличается принцип относительности Галилея от принципа относительности Эйнштейна?

2. Каковы причины создания специальной теории относительности?

3. Сформулируйте постулаты специальной теории относительности.

4. Запишите преобразования Лоренца. При каких условиях они переходят в преобразования Галилея?

5. В чем заключается релятивистский закон сложения скоростей?

6. Как в релятивистской механике масса движущегося тела зависит от скорости?

7. Запишите основное уравнение релятивистской динамики. Чем оно отличается от основного закона ньютоновской механики?

8. В чем заключается закон сохранения релятивистского импульса?

9. Как выражается кинетическая энергия в релятивистской механике?

10. Сформулируйте закон взаимосвязи массы и энергии. В чем его физическая сущность?

 

Примеры решения задач

 

Задача 1. Ионизированный атом, вылетев из ускорителя со скоростью 0,8с , испустил фотон в направлении своего движения. Определить скорость фотона относительно ускорителя.

Дано:

Найти:

Решение

По релятивистскому закону сложения скоростей

где - скорость фотона. С учетом того, что ,получим:

Ответ:скорость фотона в собственной системе координат и относительно ускорителя одинакова и равна скорости света.

Задача 2. Протон движется со скоростью 0,75с. Определить его релятивистский импульс и кинетическую энергию.

Дано: кг; v=0,7c; с=3· 108 м/с.

Найти: р, Ek.

 

Решение

Релятивистский импульс протона вычислим по формуле

Кинетическая энергия частицы

где Е – полная энергия движущегося протона; Е0 – энергия покоя.

Ответ:р = 5,68·10-19 Н·с; Ek = 7,69·10-11 Дж.

 

 

Задачи для самостоятельного решения

1. С какой скоростью должен двигаться стержень, чтобы размеры его в направлении движения сократились в три раза?

2. Частица движется со скоростью v=8c. Определить отношение полной энергии релятивистской частицы к ее энергии покоя.

3. Определить скорость, при которой релятивистский импульс частицы превышает ее ньютоновский импульс в три раза.

4. Определить релятивистский импульс электрона, кинетическая энергия которого Ek = 1 ГэВ.

5. На сколько процентов увеличится масса электрона после прохождения им в ускоряющем электрическом поле разности потенциалов 1,5 МВ?

 

Приложение

Некоторые знаменательные события в истории развития механики

 

Год Событие Ученый
III в. до н.э. Создана теория рычага, определено значение выталкивающей силы, введены понятия «центр тяжести» и «момент силы». Архимед    
Впервые указано на существование явления инерции. Г. Галилей    
Открыт закон свободного падения тел. Г. Галилей  
Опубликован трактат, в котором сформулированы законы динамики и закон всемирного тяготения. И. Ньютон  
Установлены закономерности трения. Ш. Кулон  
Экспериментально подтвержден закон всемирного тяготения, определена масса Земли. Г. Кавендиш  
1842-1847 Сформулирован закон сохранения и превращения энергии. Ю. Майер, Д. Джоуль, Г. Гельмгольц
Создана теория движения ракеты, обоснована возможность использования ракетной техники для межпланетных сообщений. К.Э. Циолковский    
Разработаны основы специальной теории относительности (релятивистской механики), открыт закон взаимосвязи массы и энергии. А. Эйнштейн    
Получено основное уравнение квантовой механики. Э. Шрёдингер  

 

 



Дата добавления: 2016-12-16; просмотров: 1103;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.037 сек.