Решение задач в случае, когда одна из пересекающихся фигур проецирующая, вторая - непроецирующая.

Решение 1 ГПЗ снова рассмотрим на конкретном примере.

Задача: Найти проекции точки пересечения плоскости общего положения S(m || n) с фронтально проецирующей прямой а (рис. 3-12).

Рис. 3-12

Графическое условие этой задачи подобно условию 1 ГПЗ, показанному на рис. 3-7. Такая же фронтально проецирующая прямая а пересекается с плоскостью S(m || n). Только, в данной задаче плоскость S - общего положения.

Алгоритм: Решение начинаем, как и в первом случае, с фронтальной проекции. Точно так же, фронтальная проекция точки пересечения К₂ совпадёт с фронтальной проекцией прямой а₂, так как а₂ - точка (рис. 3-13).

Рис. 3-13

Горизонтальную проекцию точки пересечения К₁ найти так однозначно, как в первом случае, уже невозможно. Поэтому будем находить её по признаку принадлежности плоскости S. Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости. Возьмём в плоскости S любую прямую, проходящую через точку К₂, например, 1₂2₂, найдём её горизонтальную проекцию 1₁2₁ (1Îm, 2În) и на этой прямой будет располагаться точка К₁.

Следующим этапом необходимо определить видимость прямой а на горизонтальной проекции. Для этого воспользуемся методом конкурирующих точек (рис. 3-14).

Рис. 3-14

Так как плоскость S имеет с прямой а только одну общую точку К, то прямые m и а - скрещивающиеся, а точки 3 и 4 на них – горизонтально конкурирующие. Пусть точка 3 принадлежит прямой m (то есть плоскости S), точка 4 принадлежит прямой а. Находим фронтальные проекции точек. Из чертежа рис. 3-14 видно, что точка З₂ расположена выше, чем точка 4₂. Следовательно, на данном участке, начиная от точки пересечения К₁, до прямой m₁ прямая а₁ не видна.

Выполним краткую алгоритмическую запись решения:

S(m || n) Ç a = K; 1 ГПЗ, 2 алгоритм

К Î a , а ^^ П₂ Þ К₂ =а₂.
К₁ Î S, К Î12, 12 Ì S Þ К₁ = а₁ Ç 1₁2₁.

Рассмотрим ещё одну задачу: Пересекаются прямая общего положения а с поверхностью горизонтально проецирующего цилиндра Г (рис. 3-15). Найти проекции точек пересечения.

Рис. 3-15

Решение: 1 ГПЗ , 2 алг. Горизонтальная проекция цилиндра - окружность Г₁, следовательно, в результате пересечения получаются 2 точки М и N , горизонтальные проекции которых М₁ и N₁ располагаются на пересечении Г₁ и а₁ (рис. 3-16).

Рис. 3-16

Фронтальные проекции точек пересечения М₂ и N₂ находим по принадлежности прямой а с использованием линии связи. Видимость на П₂ определяем по цилиндру: точка N₁ расположена перед плоскостью фронтального меридиана Ф, и N₂ - видимая; М₁ расположена за плоскостью фронтального меридиана Ф, и М₂ - невидимая. Часть прямой а между точками М и N находится внутри цилиндра, следовательно, на П₂ участок прямой между точками М₂ и N₂ невидимый. Участок прямой между точкой М₂ и очерковой образующей цилиндра l₂ также невидим, так как находится за плоскостью фронтального меридиана. Алгоритмическая запись решения:

Г Ç а = М, N, 1 ГПЗ, 2 алгоритм.

М, N Î Г, Г ^^ П₁ Þ M₁, N₁ = Г₁ Ç а₁.
М, N Î a Þ M₂ ,N₂ Î a₂.

Вывод: Решение задач по 2 алгоритму сводится к следующему:

Выделяют из двух заданных фигур проецирующую и отмечают её главную проекцию .
Ставят обозначение той проекции искомого общего элемента, которая совпадает с главной проекцией проецирующей фигуры. Если совпадение только частичное, то находят границы общей части.
Вторую проекцию общего элемента находят по условию его принадлежности непроецирующей фигуре.
Определяют видимость проекций общих элементов и пересекающихся фигур.

Конические сечения

Решение второй главной позиционной задачи по 2 алгоритму рассмотрим на примере конических сечений. Ещё в Древней Греции был известен тот факт, что при пересечении конуса различными плоскостями можно получить прямые линии, кривые второго порядка и, как вырожденный случай, точку. На рис. 3-17 показана фронтальная проекция конуса W₂, пересечённого фронтально проецирующими плоскостями L₂, Г₂, F₂, D₂, S₂; в сечениях получаются, соответственно, две прямые а и b, окружность c, эллипс d, парабола m и гипербола k.

Рис. 3-17

Рассмотрим каждый случай получения конических сечений, представленных на рис. 3-17, с точки зрения решения 2 ГПЗ по 2 алгоритму.

1. Две образующие получатся в сечении, если плоскость, пересекая конус, проходит через его вершину (рис. 3-18).

Fkujhbnv^ W Ç L = a?b$ 2 UGP? 2 fku/

L ^^ G₂Þ a₂b₂ = L₂

a₁b₁ Ì W

Рис. 3-18

Частным случаем такого вида пересечения конуса плоскостью является такое положение, при котором плоскость L проходит через ось i конуса (на рис. 3-19 L₁ совпадает с плоскостью фронтального меридиана).

Рис. 3-19

Результатом пересечения являются образующие конуса с максимальным углом между ними (на рис. 3-19 это - очерковые образующие конуса SA и SB).

Алгоритм: W Ç L = SA + SB. 2 ГПЗ, 2 алг.

L ^^ П₁ Þ S₁A₁ + S₁B₁ = L₁.

S₂A₂ + S₂B₂ Ì W.

2. Окружность получится в сечении, если плоскость, пересекая конус, параллельна окружности основания n (рис 3-20), а значит, перпендикулярна оси i конуса.

Рис. 3-20

Алгоритм: Г Ç W = с. 2 ГПЗ, 2 алгоритм.

Г ^^ П₂ Þ с₂ = Г₂.

с₁ Ì W .

Вырожденный случай - плоскость Г(Г₂) проходит через вершину S конуса W (рис. 3-21). Тогда эта плоскость пересечёт конус только в одной точке. W Ç Г(Г₂) = К.

Рис. 3-21

3. Эллипс получится в сечении, если плоскость не перпендикулярна оси конуса и пересекает все его образующие (рис. 3-22, 3-23, 3-24).

Алгоритм: Ф Ç W = d . 2 ГПЗ, 2 алгоритм.

Ф ^^ П₂ Þ d₂ = Ф₂.

d₁ Ì W.

Рис. 3-22

Построение эллипса начинаем с его осей (рис. 3-22). АВ - большая ось эллипса, причём, А₂В₂ - её натуральная величина, А₁В₁ - её проекция. СЕ - малая ось эллипса, она перпендикулярна большой оси и делит её пополам. Чтобы найти СЕ, разделим А₂В₂ с помощью циркуля пополам, получим точки С₂, Е₂, и радиусом R , равным радиусу параллели, на которой лежат точки С и Е, сделаем засечки на линии связи, проведённой от точек С₂, Е₂. Получим точки С₁ и Е₁. Эти точки - фронтально конкурирующие, С₁ - ближе к нам, поэтому Е₂ - невидимая.

Далее эллипс можно строить двояко:

1. Можно строить его по двум осям любым из известных способов (например, приведённым в разделе "Кривые линии"). Этот способ показан на рис. 3-23.

Рис. 3-23

2. Можно строить эллипс по точкам, по принадлежности конусу, особенно, если в какой-либо конкретной задаче эллипс получается неполным. Такое решение показано на рис. 3-24.

Рис. 3-24

Построим три проекции линии пересечения конуса с плоскостью Ф. Горизонтальную проекцию точек А, В, С, Е строим так, как показано на рис. 3-22. Остальные, промежуточные, точки строим аналогично точкам С и Е, по принадлежности параллелям конуса. Радиусом параллели, на которой расположена точка, равным расстоянию от оси до очерка конуса, из центра S₁делаем засечки на линиях связи от соответствующих точек. Соединяем точки с помощью лекала и получаем горизонтальную проекцию эллипса. При данном расположении конуса эллипс на П₁ виден весь.

Построение эллипса на П₃ начинаем также с характерных точек. Ими являются:

1) Точки А и В, которые расположены в плоскости фронтального меридиана, следовательно, на П₂ - на очерковых образующих, а на П₃ - на оси.

2) Точки М и N принадлежат профильным образующим - они определяют видимость эллипса относительно П₃: часть эллипса от точки В до точек М и N расположена левее профильных образующих, следовательно, на П₃ она видна; соответственно, часть эллипса от точек М и N до точки А на П₃ не видна .

3) Промежуточные точки на П₃ строим, откладывая координату y для каждой точки (расстояния, помеченные одной, двумя или тремя рисками) с П₁ на П₃. Соединяем точки с учётом видимости и получаем профильную проекцию эллипса.

4. Парабола получится в сечении, если плоскость, пересекая конус, проходит параллельно только одной его образующей (рис. 3-25).

Алгоритм: W Ç D = m. D || SK. 2 ГПЗ, 2 алгоритм

^^ П₂ Þ m₂ = D₂

m₁Ì W

Рис. 3-25

Построение параболы начинаем с характерных точек:

1) А - вершина параболы. А₂ принадлежит очерковой образующей конуса, следовательно, А расположена в плоскости фронтального меридиана Þ А₁.

2) Точки В и С - низшие точки параболы, принадлежат окружности основания n конуса, на П₁ находим их с помощью линии связи тоже без дополнительных построений.

Промежуточные точки находим так же, как и в случае построения эллипса, то есть по принадлежности параллелям конуса. Соединяем точки с помощью лекала и получаем параболу.

Так как плоскость D параллельна только одной образующей конуса, то парабола имеет одну несобственную точку.

Поэтому, в частном случае, когда плоскость D касается одной образующей SК конуса (рис. 3-26), то получается вырожденный вид параболы - прямая m, совпадающая с SK.

Рис. 3-26

5. Гипербола получится в сечении, если плоскость при пересечении с конусом параллельна одновременно двум образующим конуса (рис. 3-27).

Алгоритм: W Ç S = k. S || SM, S || SN. 2 ГПЗ. 2 алгоритм.

1. S ^^ П₂Þ k₂= S_2.

2. k₁Ì W

Рис. 3-27

Построение гиперболы, представленной на рис. 3-27, полностью идентично построению параболы (рис. 3-25).

Так как плоскость S параллельна двум образующим конуса а и b, то гипербола имеет две несобственные точки, и вырожденный вид гиперболы - две прямые а и b (рис. 3-18, 3-19), когда плоскость проходит через вершину конуса.

Рассмотрим частный случай построения гиперболы, когда плоскость S перпендикулярна П₁, т.е. является горизонтально проецирующей (рис. 3-28). Построим три проекции линии пересечения конуса W с такой плоскостью S(S₁).

Рис. 3-28

Алгоритм: W Ç S = k. S || SO, S || SE, S ^^ П₁. 2 ГПЗ 2алгоритм

S^^ П₁Þ k₁= S₁.

k₂Ì W₂

Построение гиперболы начинаем с характерных точек:

Точки М и N принадлежат окружности основания конуса Þ M₂,N₂ Ì n₂. М₃ и N₃ находим на n₃, откладывая координату y этих точек с П₁(эти расстояния отмечены двумя и одной риской соответственно).

Точка А располагается в плоскости фронтального меридиана и определяет видимость гиперболы относительно П₂: точка N₂ - невидимая. А₂ лежит на очерковой образующей конуса, а А₃ - на оси.

Точка С - вершина гиперболы. Она лежит на перпендикуляре, проведённом от S₁ к S₁. С₂ находим по принадлежности параллели конуса, проведённой через С₁. С₃ строим аналогично точкам М₃ и N₃.

Точка В лежит в плоскости профильного меридиана и определяет видимость гиперболы относительно П₃. В₂ находим по принадлежности параллели, проведённой через В₁, В₃ лежит на очерковой образующей конуса. Часть гиперболы от В₃ до М₃ невидимая.

Промежуточные точки на П₂ находим по принадлежности соответствующим параллелям, аналогично точке С, на П₃ - по координатам y этих точек. Соединяем точки с учётом видимости с помощью лекала и получаем фронтальную и профильную проекции гиперболы.

Рассмотрим ещё одну задачу на пересечение поверхностей, из которых одна проецирующая, вторая - непроецирующая.

Задача: Построить линию пересечения сферы S и горизонтально проецирующей призмы Г (рис. 3-29).

Рис. 3-29

Алгоритм: 2 ГПЗ, 2 алг.

1. Вначале определяем, что должно получиться в результате пересечения. Характер пересечения - частный случай вмятия, с одной общей точкой. Призма - трёхгранная, значит можно рассматривать пересечение сферы тремя отдельными плоскостями: D, F и L. Следовательно, линией пересечения является пространственная линия, состоящая из трёх плоских кривых второго порядка: двух дуг эллипсов (S Ç F = a, S Ç L = b) и одной дуги окружности (S Ç D = с).

2. Поскольку поверхность призмы – горизонтально проецирующая, то горизонтальная линия пересечения совпадает с Г₁.

3. Фронтальную проекцию линии пересечения сферы с любой из плоскостей, например, Ф, строим по принадлежности сфере. a Ì S Þ а₂ Ì S₂ (рис. 3-30).

Рис. 3-30

Построения начинаем с характерных точек: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Точка 1 принадлежит экватору сферы Þ 1₂; точки 2 и 5 принадлежат фронтальному меридиану сферы и определяют видимость эллипса а относительно П₂ Þ 2₂ и 5₂; точки 3 и 4 являются конечными точками дуги эллипса а Þ 3₂ и 4₂; точки 6 и 7 - высшая и низшая точки эллипса а. Промежуточные точки, так же, как точки 3, 4, 6, 7, находим по принадлежности параллелям сферы. Проводим а₂ с учётом видимости.

4. Аналогично строим линию пересечения сферы с плоскостью L(рис. 3-31): b Ì S Þ b₂Ì S₂.

Рис. 3-31

Результат пересечения сферы S с плоскостью D - окружность с (рис. 3-32) расположена за плоскостью фронтального меридиана, следовательно, с₂Ì S₂ - невидимая.

Рис. 3-32

На рис. 3-33 показан общий результат решения задачи с учётом видимости поверхностей.

Рис. 3-33

Алгоритм: S Ç Г = а, b, с. Г || П₁. 2 ГПЗ, 2 алгоритм.

1. Г ^^ П₁ Þ а₁, b₁, с₁ = Г₁.

2. а₂, b₂, с₂ Ì S.

Как Вы думаете, верно ли расставлены на П₂ номера фигур сечения, соответствующие секущей плоскости S на П₁?

Рис. 3-34

Алгоритм

Дата добавления: 2016-05-31; просмотров: 2396;

Поиск по сайту

Узнать еще